Trigonometrie Beispiele

$y^{3} + y^{2} = 9 y + 9$

Schritt 1

Subtrahiere $9 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} + y^{2} - 9 y = 9$

Schritt 2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} + y^{2} - 9 y - 9 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(y^{3} + y^{2}) - 9 y - 9 = 0$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y^{2} (y + 1) - 9 (y + 1) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y + 1$ .

$(y + 1) (y^{2} - 9) = 0$

Schritt 3.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(y + 1) (y^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 3$ .

$(y + 1) ((y + 3) (y - 3)) = 0$

Schritt 3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(y + 1) (y + 3) (y - 3) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

$y + 3 = 0$

$y - 3 = 0$

Schritt 5

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 6

Setze $y + 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $y + 3$ gleich $0$ .

$y + 3 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 3$

Schritt 7

Setze $y - 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $y - 3$ gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y + 1) (y + 3) (y - 3) = 0$ wahr machen.

$y = - 1, - 3, 3$