Trigonometrie Beispiele

$32 = - 64 t^{2} + 64 t + 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 64 t^{2} + 64 t + 4 = 32$ um.

$- 64 t^{2} + 64 t + 4 = 32$

Schritt 2

Subtrahiere $32$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 64 t^{2} + 64 t + 4 - 32 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $32$ von $4$ .

$- 64 t^{2} + 64 t - 28 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $- 4$ aus $- 64 t^{2} + 64 t - 28$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 64 t^{2}$ heraus.

$- 4 (16 t^{2}) + 64 t - 28 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $- 4$ aus $64 t$ heraus.

$- 4 (16 t^{2}) - 4 (- 16 t) - 28 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 28$ heraus.

$- 4 (16 t^{2}) - 4 (- 16 t) - 4 \cdot 7 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (16 t^{2}) - 4 (- 16 t)$ heraus.

$- 4 (16 t^{2} - 16 t) - 4 \cdot 7 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (16 t^{2} - 16 t) - 4 (7)$ heraus.

$- 4 (16 t^{2} - 16 t + 7) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (16 t^{2} - 16 t + 7) = 0$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (16 t^{2} - 16 t + 7) = 0$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 (16 t^{2} - 16 t + 7)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 (16 t^{2} - 16 t + 7)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $16 t^{2} - 16 t + 7$ durch $1$ .

$16 t^{2} - 16 t + 7 = \frac{0}{- 4}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$16 t^{2} - 16 t + 7 = 0$

Schritt 6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7

Setze die Werte $a = 16$ , $b = - 16$ und $c = 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 7)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$t = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 16 \cdot 7}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 7$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$t = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 64 \cdot 7}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $7$ .

$t = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 448}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $448$ von $256$ .

$t = \frac{16 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $- 192$ als $- 1 (192)$ um.

$t = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (192)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ um.

$t = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$t = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $192$ als $8^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$t = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.1.7.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$t = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \frac{16 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$t = \frac{16 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$t = \frac{16 \pm 8 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 8 i \sqrt{3}}{32}$ .

$t = \frac{2 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = \frac{2 + i \sqrt{3}}{4}, \frac{2 - i \sqrt{3}}{4}$