Trigonometrie Beispiele

$- 6 \cos (\frac{π}{2} t) = 2$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \cos (\frac{π}{2} t) = 2$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \cos (\frac{π}{2} t) = 2$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 \cos (\frac{π}{2} t)}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 \cos (\frac{π}{2} t)}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{π}{2} t)$ durch $1$ .

$\cos (\frac{π}{2} t) = \frac{2}{- 6}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 6$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\cos (\frac{π}{2} t) = \frac{2 (1)}{- 6}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\cos (\frac{π}{2} t) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{π}{2} t) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{π}{2} t) = \frac{1}{- 3}$

Schritt 1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (\frac{π}{2} t) = - \frac{1}{3}$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{π}{2} t = \arccos (- \frac{1}{3})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $t$ .

$\frac{π t}{2} = \arccos (- \frac{1}{3})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Berechne $\arccos (- \frac{1}{3})$ .

$\frac{π t}{2} = 1.91063323$

Schritt 5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} \cdot 1.91063323$

Schritt 6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} \cdot 1.91063323$

Schritt 6.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} \cdot 1.91063323$

Schritt 6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{2}{π} \cdot 1.91063323$

Schritt 6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} \cdot 1.91063323$

Schritt 6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{2}{π} \cdot 1.91063323$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot 1.91063323$ .

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $\frac{2}{π} \cdot 1.91063323$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{2}{π}$ und $1.91063323$ .

$t = \frac{2 \cdot 1.91063323}{π}$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1.91063323$ .

$t = \frac{3.82126647}{π}$

Schritt 6.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{3.82126647}{3.14159265}$

Schritt 6.2.1.3

Dividiere $3.82126647$ durch $3.14159265$ .

$t = 1.21634689$

Schritt 7

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{π t}{2} = 2 (3.14159265) - 1.91063323$

Schritt 8

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} (2 (3.14159265) - 1.91063323)$

Schritt 8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} (2 (3.14159265) - 1.91063323)$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} (2 (3.14159265) - 1.91063323)$

Schritt 8.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{2}{π} (2 (3.14159265) - 1.91063323)$

Schritt 8.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} (2 (3.14159265) - 1.91063323)$

Schritt 8.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{2}{π} (2 (3.14159265) - 1.91063323)$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{π} (2 (3.14159265) - 1.91063323)$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{2}{π} (6.2831853 - 1.91063323)$

Schritt 8.2.2.1.2

Subtrahiere $1.91063323$ von $6.2831853$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot 4.37255207$

Schritt 8.2.2.1.3

Multipliziere $\frac{2}{π} \cdot 4.37255207$ .

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Schritt 8.2.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{2}{π}$ und $4.37255207$ .

$t = \frac{2 \cdot 4.37255207}{π}$

Schritt 8.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4.37255207$ .

$t = \frac{8.74510414}{π}$

Schritt 8.2.2.1.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{8.74510414}{3.14159265}$

Schritt 8.2.2.1.5

Dividiere $8.74510414$ durch $3.14159265$ .

$t = 2.7836531$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{π}{2} t)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Schritt 9.3

$\frac{π}{2}$ ist ungefähr $1.57079632$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{π}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{π}{2} t)$ ist $4$ , d. h., Werte werden sich alle $4$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 1.21634689 + 4 n, 2.7836531 + 4 n$ , für jede Ganzzahl $n$