Trigonometrie Beispiele

$6 = - 8 \cos (\frac{π}{6} t)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 8 \cos (\frac{π}{6} t) = 6$ um.

$- 8 \cos (\frac{π}{6} t) = 6$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 8 \cos (\frac{π}{6} t) = 6$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 \cos (\frac{π}{6} t) = 6$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 \cos (\frac{π}{6} t)}{- 8} = \frac{6}{- 8}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 \cos (\frac{π}{6} t)}{- 8} = \frac{6}{- 8}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{π}{6} t)$ durch $1$ .

$\cos (\frac{π}{6} t) = \frac{6}{- 8}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 8$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\cos (\frac{π}{6} t) = \frac{2 (3)}{- 8}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\cos (\frac{π}{6} t) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{π}{6} t) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{π}{6} t) = \frac{3}{- 4}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (\frac{π}{6} t) = - \frac{3}{4}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{π}{6} t = \arccos (- \frac{3}{4})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{π}{6}$ und $t$ .

$\frac{π t}{6} = \arccos (- \frac{3}{4})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Berechne $\arccos (- \frac{3}{4})$ .

$\frac{π t}{6} = 2.4188584$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{6}{π}$ .

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π t}{6} = \frac{6}{π} \cdot 2.4188584$

Schritt 7

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache $\frac{6}{π} \cdot \frac{π t}{6}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 7.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π t}{6} = \frac{6}{π} \cdot 2.4188584$

Schritt 7.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{6}{π} \cdot 2.4188584$

Schritt 7.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{6}{π} \cdot 2.4188584$

Schritt 7.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{6}{π} \cdot 2.4188584$

Schritt 7.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{6}{π} \cdot 2.4188584$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $\frac{6}{π} \cdot 2.4188584$ .

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Schritt 7.2.1.1

Multipliziere $\frac{6}{π} \cdot 2.4188584$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{6}{π}$ und $2.4188584$ .

$t = \frac{6 \cdot 2.4188584}{π}$

Schritt 7.2.1.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2.4188584$ .

$t = \frac{14.51315043}{π}$

Schritt 7.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{14.51315043}{3.14159265}$

Schritt 7.2.1.3

Dividiere $14.51315043$ durch $3.14159265$ .

$t = 4.61967926$

Schritt 8

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{π t}{6} = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Schritt 9

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 9.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{6}{π}$ .

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π t}{6} = \frac{6}{π} (2 (3.14159265) - 2.4188584)$

Schritt 9.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1.1

Vereinfache $\frac{6}{π} \cdot \frac{π t}{6}$ .

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Schritt 9.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 9.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π t}{6} = \frac{6}{π} (2 (3.14159265) - 2.4188584)$

Schritt 9.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{6}{π} (2 (3.14159265) - 2.4188584)$

Schritt 9.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{6}{π} (2 (3.14159265) - 2.4188584)$

Schritt 9.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{6}{π} (2 (3.14159265) - 2.4188584)$

Schritt 9.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{6}{π} (2 (3.14159265) - 2.4188584)$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache $\frac{6}{π} (2 (3.14159265) - 2.4188584)$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{6}{π} (6.2831853 - 2.4188584)$

Schritt 9.2.2.1.2

Subtrahiere $2.4188584$ von $6.2831853$ .

$t = \frac{6}{π} \cdot 3.8643269$

Schritt 9.2.2.1.3

Multipliziere $\frac{6}{π} \cdot 3.8643269$ .

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Schritt 9.2.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{6}{π}$ und $3.8643269$ .

$t = \frac{6 \cdot 3.8643269}{π}$

Schritt 9.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $3.8643269$ .

$t = \frac{23.1859614}{π}$

Schritt 9.2.2.1.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{23.1859614}{3.14159265}$

Schritt 9.2.2.1.5

Dividiere $23.1859614$ durch $3.14159265$ .

$t = 7.38032073$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{π}{6} t)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{6}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{6} |}$

Schritt 10.3

$\frac{π}{6}$ ist ungefähr $0.52359877$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{6}}$

Schritt 10.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{6}{π}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{6}{π}$

Schritt 10.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{6}{π}$

Schritt 10.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 6$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{π}{6} t)$ ist $12$ , d. h., Werte werden sich alle $12$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 4.61967926 + 12 n, 7.38032073 + 12 n$ , für jede Ganzzahl $n$