Trigonometrie Beispiele

$c = 2 π \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $2 π \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} = c$ um.

$2 π \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} = c$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 π \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}})}^{2} = c^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ als ${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 π {(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(2 π {(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ an.

${(2 π \frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $2 π \frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kombiniere $\frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

${(\frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2^{\frac{1}{2}}} π)}^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kombiniere $\frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2^{\frac{1}{2}}}$ und $π$ .

${(\frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 π}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Bringe $2^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 π \cdot 2^{- \frac{1}{2}})}^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.4.1

Bewege $2^{- \frac{1}{2}}$ .

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2) π)}^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $2^{- \frac{1}{2}}$ mit $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.2.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1}) π)}^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2} + 1} π)}^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} π)}^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{- 1 + 2}{2}} π)}^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.4.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} π)}^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf ${(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} π$ an.

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf ${(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ an.

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(a^{2} + b^{2})}^{1} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.7

Vereinfache.

$(a^{2} + b^{2}) \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2^{1} π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.9

Berechne den Exponenten.

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2 π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.10

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.2.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(a^{2} \cdot 2 + b^{2} \cdot 2) π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.10.2

Stelle um.

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Schritt 3.2.1.10.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$(2 \cdot a^{2} + b^{2} \cdot 2) π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.10.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b^{2}$ .

$(2 \cdot a^{2} + 2 \cdot b^{2}) π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $b^{2}$ .

$(2 a^{2} + 2 b^{2}) π^{2} = c^{2}$

Schritt 3.2.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$2 a^{2} π^{2} + 2 b^{2} π^{2} = c^{2}$

Schritt 4

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2 a^{2} π^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 b^{2} π^{2} = c^{2} - 2 a^{2} π^{2}$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 b^{2} π^{2} = c^{2} - 2 a^{2} π^{2}$ durch $2 π^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 b^{2} π^{2} = c^{2} - 2 a^{2} π^{2}$ durch $2 π^{2}$ .

$\frac{2 b^{2} π^{2}}{2 π^{2}} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 b^{2} π^{2}}{2 π^{2}} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b^{2} π^{2}}{π^{2}} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b^{2} π^{2}}{π^{2}} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $b^{2}$ durch $1$ .

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 a^{2} π^{2}$ heraus.

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{2 (- a^{2} π^{2})}{2 π^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π^{2}$ heraus.

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{2 (- a^{2} π^{2})}{2 (π^{2})}$

Schritt 4.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{2 (- a^{2} π^{2})}{2 π^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- a^{2} π^{2}}{π^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- a^{2} π^{2}}{π^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Dividiere $- a^{2}$ durch $1$ .

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} - a^{2}$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{\frac{c^{2}}{2 π^{2}} - a^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{c^{2}}{2 π^{2}} - a^{2}}$ .

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Schritt 4.4.1

Um $- a^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 π^{2}}{2 π^{2}}$ .

$b = \pm \sqrt{\frac{c^{2}}{2 π^{2}} - a^{2} \cdot \frac{2 π^{2}}{2 π^{2}}}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $- a^{2}$ und $\frac{2 π^{2}}{2 π^{2}}$ .

$b = \pm \sqrt{\frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- a^{2} (2 π^{2})}{2 π^{2}}}$

Schritt 4.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b = \pm \sqrt{\frac{c^{2} - a^{2} (2 π^{2})}{2 π^{2}}}$

Schritt 4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$b = \pm \sqrt{\frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}}$

Schritt 4.4.5

Schreibe $\frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$ als ${(\frac{1}{π})}^{2} \frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2}$ um.

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Schritt 4.4.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $c^{2} - 2 a^{2} π^{2}$ heraus.

$b = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}{2 π^{2}}}$

Schritt 4.4.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $π^{2}$ aus $2 π^{2}$ heraus.

$b = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}{π^{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}{π^{2} \cdot 2}$ um.

$b = \pm \sqrt{{(\frac{1}{π})}^{2} \frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2}}$

Schritt 4.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \pm \frac{1}{π} \sqrt{\frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2}}$

Schritt 4.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2}}$ als $\frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{\sqrt{2}}$ um.

$b = \pm \frac{1}{π} \cdot \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.4.8

Kombinieren.

$b = \pm \frac{1 \sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{π \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.9

Mutltipliziere $\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}$ mit $1$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{π \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{π \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{π \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.4.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{π \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.11.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.4.11.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 4.4.11.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 4.4.11.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.11.6

Addiere $1$ und $1$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.4.11.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.4.11.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.11.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.11.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.11.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.11.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.11.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \cdot 2^{1}}$

Schritt 4.4.11.7.5

Berechne den Exponenten.

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \cdot 2}$

Schritt 4.4.12

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$b = \pm \frac{\sqrt{(c^{2} - 2 a^{2} π^{2}) \cdot 2}}{π \cdot 2}$

Schritt 4.4.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.13.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{(c^{2} - 2 a^{2} π^{2}) \cdot 2}}{2 \cdot π}$

Schritt 4.4.13.2

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(c^{2} - 2 a^{2} π^{2}) \cdot 2}}{2 π}$ um.

$b = \pm \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$b = \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$b = - \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$b = \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

$b = - \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

$b = \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

$b = - \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

$b = \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

$b = - \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$