Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) - 1$ .

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Schritt 2.1

Bewege $- 1$ .

$\sin^{2} (32 °) - 1 + \cos^{2} (m) = 0$

Schritt 2.2

Stelle $\sin^{2} (32 °)$ und $- 1$ um.

$- 1 + \sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- 1 (1) + \sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (32 °)$ heraus.

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (32 °))$ heraus.

$- 1 (1 - \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

Schritt 2.6

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (32 °))$ als $- (1 - \sin^{2} (32 °))$ um.

$- (1 - \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

Schritt 2.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \cos^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

Schritt 2.8

Stelle $- \cos^{2} (32 °)$ und $\cos^{2} (m)$ um.

$\cos^{2} (m) - \cos^{2} (32 °) = 0$

Schritt 2.9

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (m)$ und $b = \cos (32 °)$ .

$(\cos (m) + \cos (32 °)) (\cos (m) - \cos (32 °)) = 0$

Schritt 2.10

Berechne $\cos (32 °)$ .

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - \cos (32 °)) = 0$

Schritt 2.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1

Berechne $\cos (32 °)$ .

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 1 \cdot 0.84804809) = 0$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.84804809$ .

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

Schritt 2.12

Multipliziere $(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 0.84804809)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (m) (\cos (m) - 0.84804809) + 0.84804809 (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

Schritt 2.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

Schritt 2.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Schritt 2.13

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809$ .

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Schritt 2.13.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (m) \cdot - 0.84804809$ und $0.84804809 \cos (m)$ neu an.

$\cos (m) \cos (m) - 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Schritt 2.13.2

Addiere $- 0.84804809 \cos (m)$ und $0.84804809 \cos (m)$ .

$\cos (m) \cos (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Schritt 2.14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.14.1

Multipliziere $\cos (m) \cos (m)$ .

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Schritt 2.14.1.1

Potenziere $\cos (m)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (m) \cos (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Schritt 2.14.1.2

Potenziere $\cos (m)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (m) \cos^{1} (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Schritt 2.14.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (m)}^{1 + 1} + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Schritt 2.14.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Schritt 2.14.2

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (m)$ .

$\cos^{2} (m) + 0 + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Schritt 2.14.3

Mutltipliziere $0.84804809$ mit $- 0.84804809$ .

$\cos^{2} (m) + 0 - 0.71918557 = 0$

Schritt 2.15

Addiere $\cos^{2} (m)$ und $0$ .

$\cos^{2} (m) - 0.71918557 = 0$

Schritt 3

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $0.71918557$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (m) = 0.71918557$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (m) = \pm \sqrt{0.71918557}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$

Schritt 3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}, - \sqrt{0.71918557}$

Schritt 3.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $m$ aufzulösen.

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$

$\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$

Schritt 3.5

Löse in $\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$ nach $m$ auf.

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Schritt 3.5.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $m$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$m = \arccos (\sqrt{0.71918557})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Berechne $\arccos (\sqrt{0.71918557})$ .

$m = 32$

Schritt 3.5.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$m = 360 - 32$

Schritt 3.5.4

Subtrahiere $32$ von $360$ .

$m = 328$

Schritt 3.5.5

Ermittele die Periode von $\cos (m)$ .

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Schritt 3.5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.5.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.5.6

Die Periode der $\cos (m)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$m = 32 + 360 n, 328 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.6

Löse in $\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$ nach $m$ auf.

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Schritt 3.6.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $m$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$m = \arccos (- \sqrt{0.71918557})$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Berechne $\arccos (- \sqrt{0.71918557})$ .

$m = 148$

Schritt 3.6.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$m = 360 - 148$

Schritt 3.6.4

Subtrahiere $148$ von $360$ .

$m = 212$

Schritt 3.6.5

Ermittele die Periode von $\cos (m)$ .

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Schritt 3.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.6.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.6.6

Die Periode der $\cos (m)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$m = 148 + 360 n, 212 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$m = 32 + 360 n, 328 + 360 n, 148 + 360 n, 212 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.8

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 3.8.1

Führe $32 + 360 n$ und $212 + 360 n$ zu $32 + 180 n$ zusammen.

$m = 32 + 180 n, 328 + 360 n, 148 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.8.2

Führe $328 + 360 n$ und $148 + 360 n$ zu $148 + 180 n$ zusammen.

$m = 32 + 180 n, 148 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$