Trigonometrie Beispiele

$y = \tan (\frac{2}{3} θ)$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$y = \tan (\frac{2 x}{3})$

Schritt 2

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (\frac{2 x}{3})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \tan (\frac{2 x}{3})$ auftritt.

$\frac{2 x}{3} = - \frac{π}{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Multipliziere $\frac{3}{2} (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = - \frac{3 π}{4}$

Schritt 4

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{2 x}{3}$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 6

Die fundamentale Periode für $y = \tan (\frac{2 x}{3})$ tritt auf bei $(- \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4})$ , wobei $- \frac{3 π}{4}$ und $\frac{3 π}{4}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4})$

Schritt 7

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 7.1

$\frac{2}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{6}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{2}{3}}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{3}{2}$

Schritt 7.3

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2}$

Schritt 7.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 8

Die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (\frac{2 x}{3})$ treten auf bei $- \frac{3 π}{4}$ , $\frac{3 π}{4}$ und aller $\frac{3 π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$

Schritt 9

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 10