Trigonometrie Beispiele

$14 (1 - \cos (θ)) = \sin^{2} (θ)$

Schritt 1

Subtrahiere $\sin^{2} (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$14 (1 - \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$14 \cdot 1 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$14 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$14 - 14 \cos (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

Schritt 3

Ersetze $\sin^{2} (θ)$ durch $1 - \cos^{2} (θ)$ .

$14 - 14 \cos (θ) - (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

Schritt 4

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Ersetze $\cos (θ)$ durch $u$ .

$14 - 14 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $14 - 14 u - (1 - u^{2})$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$14 - 14 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$14 - 14 u - 1 - - u^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere $- - u^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$14 - 14 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$14 - 14 u - 1 + u^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von $14$ .

$- 14 u + 13 + u^{2} = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 14 u + 13 + u^{2}$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $13$ und deren Summe $- 14$ ist.

$- 13, - 1$

Schritt 4.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 13) (u - 1) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 13 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 4.5

Setze $u - 13$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $u - 13$ gleich $0$ .

$u - 13 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $13$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 13$

Schritt 4.6

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 13) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 13, 1$

Schritt 4.8

Ersetze $u$ durch $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = 13, 1$

Schritt 4.9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\cos (θ) = 13$

$\cos (θ) = 1$

Schritt 4.10

Löse in $\cos (θ) = 13$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.10.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $13$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4.11

Löse in $\cos (θ) = 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.11.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (1)$

Schritt 4.11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.11.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 4.11.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - 0$

Schritt 4.11.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$θ = 2 π$

Schritt 4.11.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.11.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.12

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$