Trigonometrie Beispiele

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 16 x - 8 y - 5 = 0$

Schritt 1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 16 x - 8 y = 5$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $4$ .

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = \frac{5}{4}$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 4 x$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 3.3.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 3.4.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Schritt 3.4.2.1.1.6.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 2)}^{2} - 4$ ein.

${(x - 2)}^{2} - 4$

Schritt 4

Setze ${(x - 2)}^{2} - 4$ für $x^{2} - 4 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = \frac{5}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} - 2 y = \frac{5}{4}$

Schritt 5

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} - 2 y = \frac{5}{4} + 4$

Schritt 6

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 2 y$ an.

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Schritt 6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 6.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 6.3.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 6.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 6.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 6.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 1)}^{2} - 1$ ein.

${(y - 1)}^{2} - 1$

Schritt 7

Setze ${(y - 1)}^{2} - 1$ für $y^{2} - 2 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = \frac{5}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = \frac{5}{4} + 4$

Schritt 8

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + 4 + 1$

Schritt 9

Vereinfache $\frac{5}{4} + 4 + 1$ .

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Schritt 9.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4}{1} + 1$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} + 1$

Schritt 9.1.4

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 + 4 \cdot 4 + 4}{4}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 + 16 + 4}{4}$

Schritt 9.3.2

Addiere $5$ und $16$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{21 + 4}{4}$

Schritt 9.3.3

Addiere $21$ und $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{25}{4}$