Trigonometrie Beispiele

$y^{2} - 4 y - 4 x^{2} + 8 x = 4$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 4 y$ an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.3.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 1.4.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Schritt 1.4.2.1.1.6.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 2)}^{2} - 4$ ein.

${(y - 2)}^{2} - 4$

Schritt 2

Setze ${(y - 2)}^{2} - 4$ für $y^{2} - 4 y$ ein in der Gleichung $y^{2} - 4 y - 4 x^{2} + 8 x = 4$ .

${(y - 2)}^{2} - 4 - 4 x^{2} + 8 x = 4$

Schritt 3

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

${(y - 2)}^{2} - 4 x^{2} + 8 x = 4 + 4$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 x^{2} + 8 x$ an.

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Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = 8$

$c = 0$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- 4)}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{- 4}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 4$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 (1)}{- 4}$

Schritt 4.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Schritt 4.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Schritt 4.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$e = 4$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(x - 1)}^{2} + 4$ ein.

$- 4 {(x - 1)}^{2} + 4$

Schritt 5

Setze $- 4 {(x - 1)}^{2} + 4$ für $- 4 x^{2} + 8 x$ ein in der Gleichung $y^{2} - 4 y - 4 x^{2} + 8 x = 4$ .

${(y - 2)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{2} + 4 = 4 + 4$

Schritt 6

Bringe $4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

${(y - 2)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{2} = 4 + 4 - 4$

Schritt 7

Vereinfache $4 + 4 - 4$ .

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Schritt 7.1

Addiere $4$ und $4$ .

${(y - 2)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{2} = 8 - 4$

Schritt 7.2

Subtrahiere $4$ von $8$ .

${(y - 2)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{2} = 4$

Schritt 8

Teile jeden Term durch $4$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{4} - \frac{4 {(x - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{1} = 1$