Trigonometrie Beispiele

${(y + \sqrt{3})}^{2} = - 4 \sqrt{2} (x - \sqrt{2})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 \sqrt{2} (x - \sqrt{2}) = {(y + \sqrt{3})}^{2}$ um.

$- 4 \sqrt{2} (x - \sqrt{2}) = {(y + \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \sqrt{2} (x - \sqrt{2}) = {(y + \sqrt{3})}^{2}$ durch $- 4 \sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \sqrt{2} (x - \sqrt{2}) = {(y + \sqrt{3})}^{2}$ durch $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} (x - \sqrt{2})}{- 4 \sqrt{2}} = \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2}}{- 4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \sqrt{2} (x - \sqrt{2})}{- 4 \sqrt{2}} = \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2}}{- 4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2} (x - \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2}}{- 4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} (x - \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2}}{- 4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $x - \sqrt{2}$ durch $1$ .

$x - \sqrt{2} = \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2}}{- 4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2}}{(4) \sqrt{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{{(y + \sqrt{3})}^{2}}{4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - \sqrt{2} = - (\frac{{(y + \sqrt{3})}^{2}}{4 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.1.2.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{{(y + \sqrt{3})}^{2}}{4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.1.2.3.3.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 1.1.2.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 1.1.2.3.3.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 1.1.2.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.1.2.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.1.2.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{1}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.2.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x - \sqrt{2} = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{8}$

Schritt 1.1.3

Addiere $\sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{{(y + \sqrt{3})}^{2} \sqrt{2}}{8} + \sqrt{2}$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot {(y + \sqrt{3})}^{2} + \sqrt{2}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot {(y + \sqrt{3})}^{2} + \sqrt{2}$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(y + \sqrt{3})}^{2}$ als $(y + \sqrt{3}) (y + \sqrt{3})$ um.

$- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot ((y + \sqrt{3}) (y + \sqrt{3})) + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(y + \sqrt{3}) (y + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot (y (y + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (y + \sqrt{3})) + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot (y \cdot y + y \sqrt{3} + \sqrt{3} (y + \sqrt{3})) + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot (y \cdot y + y \sqrt{3} + \sqrt{3} y + \sqrt{3} \sqrt{3}) + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot (y^{2} + y \sqrt{3} + \sqrt{3} y + \sqrt{3} \sqrt{3}) + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot (y^{2} + y \sqrt{3} + \sqrt{3} y + \sqrt{3 \cdot 3}) + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot (y^{2} + y \sqrt{3} + \sqrt{3} y + \sqrt{9}) + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.3.1.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot (y^{2} + y \sqrt{3} + \sqrt{3} y + \sqrt{3^{2}}) + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot (y^{2} + y \sqrt{3} + \sqrt{3} y + 3) + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Stelle die Faktoren von $\sqrt{3} y$ um.

$- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot (y^{2} + y \sqrt{3} + y \sqrt{3} + 3) + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.3.3

Addiere $y \sqrt{3}$ und $y \sqrt{3}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot (y^{2} + 2 y \sqrt{3} + 3) + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2}}{8} y^{2} - \frac{\sqrt{2}}{8} (2 y \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} - \frac{\sqrt{2}}{8} (2 y \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{8}$ in den Zähler.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{- \sqrt{2}}{8} (2 y \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{- \sqrt{2}}{2 (4)} (2 y \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{- \sqrt{2}}{2 (4)} (2 (y \sqrt{3})) - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{- \sqrt{2}}{2 \cdot 4} (2 (y \sqrt{3})) - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5.2.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{- \sqrt{2}}{4} (y \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $y$ und $\frac{- \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{y (- \sqrt{2})}{4} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Kombiniere $\frac{y (- \sqrt{2})}{4}$ und $\sqrt{3}$ .

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{y (- \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{y (- \sqrt{3 \cdot 2})}{4} - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{y (- \sqrt{6})}{4} - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5.7

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{y (- \sqrt{6})}{4} - 3 \frac{\sqrt{2}}{8} + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.5.7.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{y (- \sqrt{6})}{4} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.1.6.1.1

Forme um.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{0 + 0 + y (- \sqrt{6})}{4} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.6.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{0 + y (- \sqrt{6})}{4} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.6.1.3

Entferne unnötige Klammern.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{y \cdot - 1 \sqrt{6}}{4} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.6.1.4

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} + \frac{- y \sqrt{6}}{4} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} - \frac{y \sqrt{6}}{4} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.1.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} - \frac{y \sqrt{6}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.1.2

Um $\sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} - \frac{y \sqrt{6}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \sqrt{2} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} - \frac{y \sqrt{6}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2} \cdot 8}{8}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{y^{2} \sqrt{2}}{8} - \frac{y \sqrt{6}}{4} + \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 8}{8}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- y^{2} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 8}{8} + \frac{- y \sqrt{6}}{4}$

Schritt 1.2.1.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{- y^{2} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2}}{8} + \frac{- y \sqrt{6}}{4}$

Schritt 1.2.1.7

Addiere $- 3 \sqrt{2}$ und $8 \sqrt{2}$ .

$\frac{- y^{2} \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}}{8} + \frac{- y \sqrt{6}}{4}$

Schritt 1.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- y^{2} \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}}{8} - \frac{y \sqrt{6}}{4}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{\sqrt{2}}{8}$

$b = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

$c = \frac{5 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{\sqrt{6}}{4}}{2 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4}}{2 (\frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{2 \frac{\sqrt{2}}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$d = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 \sqrt{2}}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$d = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (\sqrt{2})}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.4.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{\sqrt{6}}{4} (1 \frac{4}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.2.4.2.6

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2}}$ mit $1$ .

$d = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.4.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.4.2.8

Kombiniere $\sqrt{6}$ und $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$d = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.4.2.9

Vereinige $\sqrt{6}$ und $\sqrt{2}$ zu einer einzigen Wurzel.

$d = \sqrt{\frac{6}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.10

Dividiere $6$ durch $2$ .

$d = \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{{(- \frac{\sqrt{6}}{4})}^{2}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{6}}{4}$ an.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{4})}^{2}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 {(\frac{\sqrt{6}}{4})}^{2}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6}}{4}$ an.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{4^{2}}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 \frac{6^{1}}{4^{2}}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 \frac{6}{4^{2}}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 (\frac{6}{16})}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $16$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 \frac{2 (3)}{16}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 8}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 8}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{1 (\frac{3}{8})}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.7

Mutltipliziere $\frac{3}{8}$ mit $1$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{\frac{3}{8}}{4 (- \frac{\sqrt{2}}{8})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{\frac{3}{8}}{- 4 \frac{\sqrt{2}}{8}}$

Schritt 1.2.5.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{\frac{3}{8}}{\frac{- 4 \sqrt{2}}{8}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{- 4 \sqrt{2}}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{2}$ heraus.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{\frac{3}{8}}{\frac{4 (- \sqrt{2})}{8}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{\frac{3}{8}}{\frac{4 (- \sqrt{2})}{4 (2)}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{\frac{3}{8}}{\frac{4 (- \sqrt{2})}{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{\frac{3}{8}}{\frac{- \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{\frac{3}{8}}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - (\frac{3}{8} (- \frac{2}{\sqrt{2}}))$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{\sqrt{2}}$ in den Zähler.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - (\frac{3}{8} \cdot \frac{- 2}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - (\frac{3}{2 (4)} \cdot \frac{- 2}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - (\frac{3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - (\frac{3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.2.5.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{- 1}{\sqrt{2}}$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{3 \cdot - 1}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - \frac{- 3}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{3}{4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - (\frac{3}{4 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.2.5.2.1.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.2.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.10.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 1.2.5.2.1.10.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 1.2.5.2.1.10.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 1.2.5.2.1.10.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5.2.1.10.6

Addiere $1$ und $1$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.10.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.2.5.2.1.10.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.10.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.10.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.2.1.10.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.10.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.2.1.10.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{1}}$

Schritt 1.2.5.2.1.10.7.5

Berechne den Exponenten.

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.11

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} - - \frac{3 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 1.2.5.2.1.12

Multipliziere $- - \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} + 1 \frac{3 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 1.2.5.2.1.12.2

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{8}$ mit $1$ .

$e = \frac{5 \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{5 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 1.2.5.2.3

Addiere $5 \sqrt{2}$ und $3 \sqrt{2}$ .

$e = \frac{8 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 1.2.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{8 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$e = \sqrt{2}$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{\sqrt{2}}{8} {(y + \sqrt{3})}^{2} + \sqrt{2}$ ein.

$- \frac{\sqrt{2}}{8} {(y + \sqrt{3})}^{2} + \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot {(y + \sqrt{3})}^{2} + \sqrt{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{8}$

$h = \sqrt{2}$

$k = - \sqrt{3}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\sqrt{2}, - \sqrt{3})$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Schritt 4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \cdot 2)$

Schritt 4.3.5

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$

Schritt 5

Finde die Leitlinie.

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Schritt 5.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \sqrt{2} + 2$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{2} + 2$

Dezimalform:

$x = 3.41421356 \dots$

Schritt 7