Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 1

Um $\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 2

Um $- \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (θ) \sin (θ)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)}$ mit $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$ mit $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (θ) \cos (θ)$ um.

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \sin (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.2

Multipliziere $- \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1} - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) + (- \cos (θ) - \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos (θ) \cos (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.5

Multipliziere $- \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 5.5.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.5.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - {\cos (θ)}^{1 + 1} - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.6

Stelle die Faktoren von $- \sin (θ) \cos (θ)$ um.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.7

Subtrahiere $\cos (θ) \sin (θ)$ von $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{0 - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.8

Subtrahiere $\sin^{2} (θ)$ von $0$ .

$\frac{- \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))$ heraus.

$\frac{- (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ))}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.12

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 6

Separiere Brüche.

$\frac{- 1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{1}{\cos (θ)}$ nach $\sec (θ)$ um.

$\frac{- 1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Schritt 8

Separiere Brüche.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Schritt 9

Wandle von $\frac{1}{\sin (θ)}$ nach $\csc (θ)$ um.

$\frac{- 1}{1} \csc (θ) \sec (θ)$

Schritt 10

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \csc (θ) \sec (θ)$