Trigonometrie Beispiele

${(\sqrt{10} + i)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${\sqrt{10}}^{4} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${\sqrt{10}}^{4}$ als $10^{2}$ um.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(10^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$10^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$10^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$10^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$10^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$10^{2} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$100 + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.3

Schreibe ${\sqrt{10}}^{3}$ als $\sqrt{10^{3}}$ um.

$100 + 4 \sqrt{10^{3}} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $10$ mit $3$ .

$100 + 4 \sqrt{1000} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.5

Schreibe $1000$ als $10^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $100$ aus $1000$ heraus.

$100 + 4 \sqrt{100 (10)} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$100 + 4 \sqrt{10^{2} \cdot 10} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$100 + 4 (10 \sqrt{10}) i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 \cdot 10^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 \cdot 10^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 \cdot 10^{1} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 \cdot 10 i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i + 60 i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$100 + 40 \sqrt{10} i + 60 \cdot - 1 + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.11

Mutltipliziere $60$ mit $- 1$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 + 4 \sqrt{10} (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Schritt 2.1.13

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 + 4 \sqrt{10} (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Schritt 2.1.14

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 + 4 \sqrt{10} (- i) + i^{4}$

Schritt 2.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 - 4 \sqrt{10} i + i^{4}$

Schritt 2.1.16

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.16.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 - 4 \sqrt{10} i + {(i^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.16.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 - 4 \sqrt{10} i + {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.1.16.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 - 4 \sqrt{10} i + 1$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $60$ von $100$ .

$40 \sqrt{10} i + 40 - 4 \sqrt{10} i + 1$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $4 \sqrt{10} i$ von $40 \sqrt{10} i$ .

$36 \sqrt{10} i + 40 + 1$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $40$ und $1$ .

$36 \sqrt{10} i + 41$

Schritt 2.2.3.2

Stelle $36 \sqrt{10} i$ und $41$ um.

$41 + 36 \sqrt{10} i$