Trigonometrie Beispiele

$g (x) = 5 \cos (3 x) - 5$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 5 \cos (3 x) - 5$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $5 \cos (3 x) - 5 = 0$ um.

$5 \cos (3 x) - 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 \cos (3 x) = 5$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (3 x) = 5$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (3 x) = 5$ durch $5$ .

$\frac{5 \cos (3 x)}{5} = \frac{5}{5}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cos (3 x)}{5} = \frac{5}{5}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $\cos (3 x)$ durch $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{5}{5}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $5$ durch $5$ .

$\cos (3 x) = 1$

Schritt 1.2.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 x = \arccos (1)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$3 x = 0$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$3 x = 2 π - 0$

Schritt 1.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.8.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 x = 2 π + 0$

Schritt 1.2.8.1.2

Addiere $2 π$ und $0$ .

$3 x = 2 π$

Schritt 1.2.8.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2 π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2 π$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 1.2.8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 1.2.8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 1.2.9

Ermittele die Periode von $\cos (3 x)$ .

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Schritt 1.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 1.2.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 1.2.10

Die Periode der Funktion $\cos (3 x)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π n}{3}, \frac{2 π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{2 π n}{3}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 5 \cos (3 (0)) - 5$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 5 \cos (3 (0)) - 5$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $5 \cos (3 (0)) - 5$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 5 \cos (0) - 5$

Schritt 2.2.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$y = 5 \cdot 1 - 5$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$y = 5 - 5$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{2 π n}{3}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4