Trigonometrie Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = \\ a = & 12 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 60 \\ B = & 30 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Ermittle $c$ .

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Schritt 1.1

Der Kosinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.

$\cos (B) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 1.2

Setze den Namen jeder Seite in die Definition der Kosinusfunktion ein.

$\cos (B) = \frac{a}{c}$

Schritt 1.3

Löse die Gleichung nach der Hypthenuse auf, in diesem Fall $c$ .

$c = \frac{a}{\cos (B)}$

Schritt 1.4

Setze die Werte jeder Variablen in die Formel für den Kosinus ein.

$c = \frac{12}{\cos (30)}$

Schritt 1.5

Der Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 1.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$c = 12 (\frac{2}{\sqrt{3}})$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 12 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 1.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Schritt 1.8.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Schritt 1.8.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Schritt 1.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Schritt 1.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Schritt 1.8.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 1.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 1.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 1.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 1.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 1.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.9.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$c = 3 (4) (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c = 3 \cdot (4 (\frac{2 \sqrt{3}}{3}))$

Schritt 1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$c = 4 (2 \sqrt{3})$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$c = 8 \sqrt{3}$

Schritt 2

Berechne die übrig gebliebene Seite unter Anwendung des Satzes von Pythagoras.

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Schritt 2.1

Wende den Satz des Pythagoras an, um die unbekannte Seite zu bestimmen. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrates, dessen Seite die Hypotenuse (die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel) ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, deren Seiten die beiden Schenkel sind (die zwei Seiten, die nicht die Hypotenuse sind).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach $b$ auf.

$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$

Schritt 2.3

Setze die tatsächlichen Werte in die Gleichung ein.

$b = \sqrt{{(8 \sqrt{3})}^{2} - {(12)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $8 \sqrt{3}$ an.

$b = \sqrt{8^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(12)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$b = \sqrt{64 {\sqrt{3}}^{2} - {(12)}^{2}}$

Schritt 2.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$b = \sqrt{64 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(12)}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(12)}^{2}}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(12)}^{2}}$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(12)}^{2}}$

Schritt 2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$b = \sqrt{64 \cdot 3 - {(12)}^{2}}$

Schritt 2.5.5

Berechne den Exponenten.

$b = \sqrt{64 \cdot 3 - {(12)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$b = \sqrt{192 - {(12)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$b = \sqrt{192 - 1 \cdot 144}$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$b = \sqrt{192 - 144}$

Schritt 2.6.4

Subtrahiere $144$ von $192$ .

$b = \sqrt{48}$

Schritt 2.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$b = \sqrt{16 (3)}$

Schritt 2.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$b = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Schritt 2.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = 4 \sqrt{3}$

Schritt 3

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 60$

$B = 30$

$C = 90$

$a = 12$

$b = 4 \sqrt{3}$

$c = 8 \sqrt{3}$