Trigonometrie Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = & 5 \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(7)}^{2} + {(5)}^{2} - {(3)}^{2}}{2 (7) (5)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 5^{2} - 3^{2}}{2 (7) \cdot 5})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 3^{2}}{2 (7) \cdot 5})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 1 \cdot 9}{2 (7) \cdot 5})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 9}{2 (7) \cdot 5})$

Schritt 4.1.5

Addiere $49$ und $25$ .

$A = \arccos (\frac{74 - 9}{2 (7) \cdot 5})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $9$ von $74$ .

$A = \arccos (\frac{65}{2 (7) \cdot 5})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$A = \arccos (\frac{65}{14 \cdot 5})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $14$ mit $5$ .

$A = \arccos (\frac{65}{70})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $65$ und $70$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $5$ aus $65$ heraus.

$A = \arccos (\frac{5 (13)}{70})$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $70$ heraus.

$A = \arccos (\frac{5 \cdot 13}{5 \cdot 14})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{5 \cdot 13}{5 \cdot 14})$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{13}{14})$

Schritt 4.4

Berechne $\arccos (\frac{13}{14})$ .

$A = 21.78678929$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(3)}^{2} + {(5)}^{2} - {(7)}^{2}}{2 (3) (5)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 5^{2} - 7^{2}}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 7^{2}}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 1 \cdot 49}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 49}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.5

Addiere $9$ und $25$ .

$B = \arccos (\frac{34 - 49}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $49$ von $34$ .

$B = \arccos (\frac{- 15}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$B = \arccos (\frac{- 15}{6 \cdot 5})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$B = \arccos (\frac{- 15}{30})$

Schritt 8.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $30$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $15$ aus $- 15$ heraus.

$B = \arccos (\frac{15 (- 1)}{30})$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Faktorisiere $15$ aus $30$ heraus.

$B = \arccos (\frac{15 \cdot - 1}{15 \cdot 2})$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{15 \cdot - 1}{15 \cdot 2})$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{- 1}{2})$

Schritt 8.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 8.4

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $120$ .

$B = 120$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$21.78678929 + C + 120 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $21.78678929$ und $120$ .

$C + 141.78678929 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $141.78678929$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 141.78678929$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $141.78678929$ von $180$ .

$C = 38.2132107$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 21.78678929$

$B = 120$

$C = 38.2132107$

$a = 3$

$b = 7$

$c = 5$