Trigonometrie Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 12 \\ c = \\ a = & 10 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 48 \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Der Sinussatz bringt ein uneindeutiges Ergebnis für den Winkel hervor. Das bedeutet, dass es $2$ Winkel gibt, die die Gleichung erfüllen. Wende den ersten möglichen Winkelwert für das erste Dreieck an.

Löse für das erste Dreieck.

Schritt 2

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $12$ .

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache $12 \frac{\sin (48)}{10}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\sin (B) = 2 (6) \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (48)}{5}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kombiniere $6$ und $\frac{\sin (48)}{5}$ .

$\sin (B) = \frac{6 \sin (48)}{5}$

Schritt 4.2.2.1.3

Berechne $\sin (48)$ .

$\sin (B) = \frac{6 \cdot 0.74314482}{5}$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $0.74314482$ .

$\sin (B) = \frac{4.45886895}{5}$

Schritt 4.2.2.1.5

Dividiere $4.45886895$ durch $5$ .

$\sin (B) = 0.89177379$

Schritt 4.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $B$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$B = \arcsin (0.89177379)$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Berechne $\arcsin (0.89177379)$ .

$B = 63.09699387$

Schritt 4.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$B = 180 - 63.09699387$

Schritt 4.6

Subtrahiere $63.09699387$ von $180$ .

$B = 116.90300612$

Schritt 4.7

Die Lösung der Gleichung $B = 63.09699387$ .

$B = 63.09699387, 116.90300612$

Schritt 5

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$48 + C + 63.09699387 = 180$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Addiere $48$ und $63.09699387$ .

$C + 111.09699387 = 180$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $111.09699387$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 111.09699387$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $111.09699387$ von $180$ .

$C = 68.90300612$

Schritt 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 8

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $c$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (68.90300612)}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $c$ auf.

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Schritt 9.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Berechne $\sin (68.90300612)$ .

$\frac{0.93297242}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 9.1.2

Berechne $\sin (48)$ .

$\frac{0.93297242}{c} = \frac{0.74314482}{10}$

Schritt 9.1.3

Dividiere $0.74314482$ durch $10$ .

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$

Schritt 9.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$c, 1$

Schritt 9.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$c$

Schritt 9.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$ mit $c$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$ mit $c$ .

$\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c$

Schritt 9.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$0.93297242 = 0.07431448 c$

Schritt 9.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Schreibe die Gleichung als $0.07431448 c = 0.93297242$ um.

$0.07431448 c = 0.93297242$

Schritt 9.4.2

Teile jeden Ausdruck in $0.07431448 c = 0.93297242$ durch $0.07431448$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $0.07431448 c = 0.93297242$ durch $0.07431448$ .

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Schritt 9.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.07431448$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Schritt 9.4.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Schritt 9.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.2.3.1

Dividiere $0.93297242$ durch $0.07431448$ .

$c = 12.55438226$

Schritt 10

Wende den zweiten möglichen Winkelwert für das zweite Dreieck an.

Löse für das zweite Dreieck.

Schritt 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 12

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 13

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $12$ .

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 13.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 13.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 13.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.1

Vereinfache $12 \frac{\sin (48)}{10}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\sin (B) = 2 (6) \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 13.2.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Schritt 13.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Schritt 13.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (48)}{5}$

Schritt 13.2.2.1.2

Kombiniere $6$ und $\frac{\sin (48)}{5}$ .

$\sin (B) = \frac{6 \sin (48)}{5}$

Schritt 13.2.2.1.3

Berechne $\sin (48)$ .

$\sin (B) = \frac{6 \cdot 0.74314482}{5}$

Schritt 13.2.2.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $0.74314482$ .

$\sin (B) = \frac{4.45886895}{5}$

Schritt 13.2.2.1.5

Dividiere $4.45886895$ durch $5$ .

$\sin (B) = 0.89177379$

Schritt 13.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $B$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$B = \arcsin (0.89177379)$

Schritt 13.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1

Berechne $\arcsin (0.89177379)$ .

$B = 63.09699387$

Schritt 13.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$B = 180 - 63.09699387$

Schritt 13.6

Subtrahiere $63.09699387$ von $180$ .

$B = 116.90300612$

Schritt 13.7

Die Lösung der Gleichung $B = 63.09699387$ .

$B = 63.09699387, 116.90300612$

Schritt 14

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$48 + C + 116.90300612 = 180$

Schritt 15

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Addiere $48$ und $116.90300612$ .

$C + 164.90300612 = 180$

Schritt 15.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Subtrahiere $164.90300612$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 164.90300612$

Schritt 15.2.2

Subtrahiere $164.90300612$ von $180$ .

$C = 15.09699387$

Schritt 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 17

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $c$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (15.09699387)}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 18

Löse die Gleichung nach $c$ auf.

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Schritt 18.1

Faktorisiere jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.1

Berechne $\sin (15.09699387)$ .

$\frac{0.26045385}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Schritt 18.1.2

Berechne $\sin (48)$ .

$\frac{0.26045385}{c} = \frac{0.74314482}{10}$

Schritt 18.1.3

Dividiere $0.74314482$ durch $10$ .

$\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$

Schritt 18.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$c, 1$

Schritt 18.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$c$

Schritt 18.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$ mit $c$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$ mit $c$ .

$\frac{0.26045385}{c} c = 0.07431448 c$

Schritt 18.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.26045385}{c} c = 0.07431448 c$

Schritt 18.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$0.26045385 = 0.07431448 c$

Schritt 18.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.1

Schreibe die Gleichung als $0.07431448 c = 0.26045385$ um.

$0.07431448 c = 0.26045385$

Schritt 18.4.2

Teile jeden Ausdruck in $0.07431448 c = 0.26045385$ durch $0.07431448$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $0.07431448 c = 0.26045385$ durch $0.07431448$ .

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Schritt 18.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.07431448$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Schritt 18.4.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Schritt 18.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.2.3.1

Dividiere $0.26045385$ durch $0.07431448$ .

$c = 3.50475229$

Schritt 19

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

Erste Dreieckskombination:

$A = 48$

$B = 63.09699387$

$C = 68.90300612$

$a = 10$

$b = 12$

$c = 12.55438226$

Zweite Dreickskombination:

$A = 48$

$B = 116.90300612$

$C = 15.09699387$

$a = 10$

$b = 12$

$c = 3.50475229$