Trigonometrie Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 14 \\ c = & 12 \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(14)}^{2} + {(12)}^{2} - {(3)}^{2}}{2 (14) (12)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 12^{2} - 3^{2}}{2 (14) \cdot 12})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 144 - 3^{2}}{2 (14) \cdot 12})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 144 - 1 \cdot 9}{2 (14) \cdot 12})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 144 - 9}{2 (14) \cdot 12})$

Schritt 4.1.5

Addiere $196$ und $144$ .

$A = \arccos (\frac{340 - 9}{2 (14) \cdot 12})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $9$ von $340$ .

$A = \arccos (\frac{331}{2 (14) \cdot 12})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$A = \arccos (\frac{331}{28 \cdot 12})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $28$ mit $12$ .

$A = \arccos (\frac{331}{336})$

Schritt 4.3

Berechne $\arccos (\frac{331}{336})$ .

$A = 9.89675977$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(3)}^{2} + {(12)}^{2} - {(14)}^{2}}{2 (3) (12)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 12^{2} - 14^{2}}{2 (3) \cdot 12})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 144 - 14^{2}}{2 (3) \cdot 12})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $14$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 144 - 1 \cdot 196}{2 (3) \cdot 12})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $196$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 144 - 196}{2 (3) \cdot 12})$

Schritt 8.1.5

Addiere $9$ und $144$ .

$B = \arccos (\frac{153 - 196}{2 (3) \cdot 12})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $196$ von $153$ .

$B = \arccos (\frac{- 43}{2 (3) \cdot 12})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$B = \arccos (\frac{- 43}{6 \cdot 12})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $12$ .

$B = \arccos (\frac{- 43}{72})$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = \arccos (- \frac{43}{72})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (- \frac{43}{72})$ .

$B = 126.67121193$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$9.89675977 + C + 126.67121193 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $9.89675977$ und $126.67121193$ .

$C + 136.56797171 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $136.56797171$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 136.56797171$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $136.56797171$ von $180$ .

$C = 43.43202828$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 9.89675977$

$B = 126.67121193$

$C = 43.43202828$

$a = 3$

$b = 14$

$c = 12$