Trigonometrie Beispiele

$z = 4 \sqrt{3} - 4 i$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 4 \sqrt{3}$ und $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{3}$ an.

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Schritt 4.3.2

Addiere $16$ und $48$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Schritt 4.3.3

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 4.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 8$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4 \sqrt{3}})$

Schritt 6

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$ einen Winkel im vierten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Schritt 7

Substituiere die Werte von $θ = - \frac{π}{6}$ und $| z | = 8$ .

$8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$

Schritt 8

Ersetze die rechte Seite der Gleichung durch die trigonometrische Form.

$z = 8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$