Trigonometrie Beispiele

$z = - 2 - 2 \sqrt{3 i}$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 2$ und $b = - 2$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

Schritt 4.3

Addiere $4$ und $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

Schritt 4.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

Schritt 4.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 2}{- 2})$

Schritt 6

Da der inverse Tangens von $\frac{- 2}{- 2}$ einen Winkel im dritten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Schritt 7

Substituiere die Werte von $θ = \frac{5 π}{4}$ und $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$

Schritt 8

Ersetze die rechte Seite der Gleichung durch die trigonometrische Form.

$z = 2 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$