Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2} \cos (x) = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $(0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 9.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 9.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{4} + 2 π (0)$

Schritt 9.1.2

Vereinfache.

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Schritt 9.1.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 9.1.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{π}{4} + 0 π$

Schritt 9.1.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 9.1.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 9.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 9.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{7 π}{4} + 2 π (0)$

Schritt 9.2.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{7 π}{4} + 0 π$

Schritt 9.2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{7 π}{4} + 0$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $\frac{7 π}{4}$ und $0$ .

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 9.2.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$