Trigonometrie Beispiele

Löse im Intervall Quadratwurzel von 2cos(x)-1=0 , (0,2pi)
,
Schritt 1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.2
Vereinige und vereinfache den Nenner.
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Schritt 2.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.2.2
Potenziere mit .
Schritt 2.3.2.3
Potenziere mit .
Schritt 2.3.2.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.3.2.5
Addiere und .
Schritt 2.3.2.6
Schreibe als um.
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Schritt 2.3.2.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.3.2.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.3.2.6.3
Kombiniere und .
Schritt 2.3.2.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.3.2.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.3.2.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 3
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 5
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 6
Vereinfache .
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Schritt 6.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 6.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 6.2.1
Kombiniere und .
Schritt 6.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 6.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 6.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 7.4
Dividiere durch .
Schritt 8
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 9
Bestimme die Werte von , die einen Wert innerhalb des Intervalls ergeben.
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Schritt 9.1
Setze für ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in enthalten ist.
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Schritt 9.1.1
Setze für ein.
Schritt 9.1.2
Vereinfache.
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Schritt 9.1.2.1
Multipliziere .
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Schritt 9.1.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.2.2
Addiere und .
Schritt 9.1.3
Das Intervall enthält .
Schritt 9.2
Setze für ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in enthalten ist.
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Schritt 9.2.1
Setze für ein.
Schritt 9.2.2
Vereinfache.
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Schritt 9.2.2.1
Multipliziere .
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Schritt 9.2.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2.2.2
Addiere und .
Schritt 9.2.3
Das Intervall enthält .