Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{3} \sec (θ) - 2 = 0$ , $[0, 2 π)$

Schritt 1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3} \sec (θ) = 2$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \sec (θ) = 2$ durch $\sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \sec (θ) = 2$ durch $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sec (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \sec (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sec (θ)$ durch $1$ .

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

$θ = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Schritt 5

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$θ = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$θ = \frac{11 π}{6}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sec (θ)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sec (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 9.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 9.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Schritt 9.1.2

Vereinfache.

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Schritt 9.1.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 9.1.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Schritt 9.1.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 9.1.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Schritt 9.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 9.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{11 π}{6} + 2 π (0)$

Schritt 9.2.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{11 π}{6} + 0 π$

Schritt 9.2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{11 π}{6} + 0$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $\frac{11 π}{6}$ und $0$ .

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 9.2.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{11 π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$