Trigonometrie Beispiele

$y^{2} + 8 y + 4 x + 36 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y + 4 x + 36 = - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x + 36 = - y^{2} - 8 y$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - y^{2} - 8 y - 36$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - y^{2} - 8 y - 36$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - y^{2} - 8 y - 36$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{- 8 y}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{- 8 y}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{- 8 y}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 8 y}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 y$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 y)}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 y)}{4 (1)} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 y)}{4 \cdot 1} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 2 y}{1} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.4

Dividiere $- 2 y$ durch $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} - 2 y + \frac{- 36}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividiere $- 36$ durch $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} - 2 y - 9$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{4} - 2 y - 9$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 9$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$d = 4$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 9 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = - 9 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 9 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = - 9 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = - 9 - \frac{4}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$e = - 9 - - 4$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = - 9 + 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $- 9$ und $4$ .

$e = - 5$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(y + 4)}^{2} - 5$ ein.

$- \frac{1}{4} {(y + 4)}^{2} - 5$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y + 4)}^{2} - 5$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 5$

$k = - 4$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 5, - 4)$

Schritt 4