Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{1}{6} x^{2} + 2 x + 11$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + 2 x + 11$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{6} + 2 x + 11$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{6}$

$b = 2$

$c = 11$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 6$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$d = 6$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 11 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 11 - \frac{4}{4 (\frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{6}$ .

$e = 11 - \frac{4}{\frac{4}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e = 11 - \frac{4}{\frac{2 (2)}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e = 11 - \frac{4}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 11 - \frac{4}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 11 - \frac{4}{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 11 - (4 (\frac{3}{2}))$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e = 11 - (2 (2) \frac{3}{2})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 11 - (2 \cdot 2 \frac{3}{2})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 11 - (2 \cdot 3)$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$e = 11 - 1 \cdot 6$

Schritt 1.2.4.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$e = 11 - 6$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $6$ von $11$ .

$e = 5$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{6} {(x + 6)}^{2} + 5$ ein.

$\frac{1}{6} {(x + 6)}^{2} + 5$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{6} \cdot {(x + 6)}^{2} + 5$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{6}$

$h = - 6$

$k = 5$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 6, 5)$

Schritt 4