Trigonometrie Beispiele

$\frac{x^{2}}{121} + y^{2} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{121} + y^{2} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 11$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(11)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$\sqrt{121 - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{121 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt{121 - 1}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $1$ von $121$ .

$\sqrt{120}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $120$ als $2^{2} \cdot 30$ um.

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $120$ heraus.

$\sqrt{4 (30)}$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 30}$

Schritt 4.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{30}$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + 2 \sqrt{30}, 0)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$(2 \sqrt{30}, 0)$

Schritt 5.4

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 5.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (2 \sqrt{30}), 0)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$(- 2 \sqrt{30}, 0)$

Schritt 5.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{30}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{30}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{30}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{30}, 0)$

Schritt 6