Trigonometrie Beispiele

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sqrt{12 - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{12 - 1 \cdot 9}$

Schritt 4.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\sqrt{12 - 9}$

Schritt 4.3.3.4

Subtrahiere $9$ von $12$ .

$\sqrt{3}$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + \sqrt{3}, 0)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$(\sqrt{3}, 0)$

Schritt 5.4

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 5.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (\sqrt{3}), 0)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$(- \sqrt{3}, 0)$

Schritt 5.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

Schritt 6