Trigonometrie Beispiele

(8, 4)

$(8, 4)$

Schritt 1

Um den

cos (θ)

$\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ und

(8, 4)

$(8, 4)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(8, 0)

$(8, 0)$ und

(8, 4)

$(8, 4)$ .

Gegenüberliegend :

4

$4$

Ankathete :

8

$8$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere

8

$8$ mit

2

$2$ .

\sqrt{64 + {(4)}^{2}}

$\sqrt{64 + {(4)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

\sqrt{64 + 16}

$\sqrt{64 + 16}$

Schritt 2.3

Addiere

64

$64$ und

16

$16$ .

\sqrt{80}

$\sqrt{80}$

Schritt 2.4

Schreibe

80

$80$ als

4^{2} \cdot 5

$4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere

16

$16$ aus

80

$80$ heraus.

\sqrt{16 (5)}

$\sqrt{16 (5)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe

16

$16$ als

4^{2}

$4^{2}$ um.

\sqrt{4^{2} \cdot 5}

$\sqrt{4^{2} \cdot 5}$

\sqrt{4^{2} \cdot 5}

$\sqrt{4^{2} \cdot 5}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

4 \sqrt{5}

$4 \sqrt{5}$

4 \sqrt{5}

$4 \sqrt{5}$

Schritt 3

Aus

cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt

cos (θ) = \frac{8}{4 \sqrt{5}}

$\cos (θ) = \frac{8}{4 \sqrt{5}}$ .

\frac{8}{4 \sqrt{5}}

$\frac{8}{4 \sqrt{5}}$

Schritt 4

Vereinfache

cos (θ)

$\cos (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

8

$8$ und

4

$4$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

8

$8$ heraus.

cos (θ) = \frac{4 \cdot 2}{4 \sqrt{5}}

$\cos (θ) = \frac{4 \cdot 2}{4 \sqrt{5}}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

4 \sqrt{5}

$4 \sqrt{5}$ heraus.

cos (θ) = \frac{4 \cdot 2}{4 (\sqrt{5})}

$\cos (θ) = \frac{4 \cdot 2}{4 (\sqrt{5})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{4 \cdot 2}{4 \sqrt{5}}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere

$\sqrt{5}$ mit

$1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere

$\sqrt{5}$ mit

$1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe

${\sqrt{5}}^{2}$ als

$5$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{5}$ als

$5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0.89442719$