Trigonometrie Beispiele

{(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2} - {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}

${(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2} - {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = \sin (θ) - \cos (θ)

$a = \sin (θ) - \cos (θ)$ und

b = \sin (θ) + \cos (θ)

$b = \sin (θ) + \cos (θ)$ .

(\sin (θ) - \cos (θ) + \sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))

$(\sin (θ) - \cos (θ) + \sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

\sin (θ) - \cos (θ) + \sin (θ) + \cos (θ)

$\sin (θ) - \cos (θ) + \sin (θ) + \cos (θ)$ .

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Schritt 2.1.1

Addiere

- \cos (θ)

$- \cos (θ)$ und

\cos (θ)

$\cos (θ)$ .

(\sin (θ) + 0 + \sin (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))

$(\sin (θ) + 0 + \sin (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Schritt 2.1.2

Addiere

\sin (θ)

$\sin (θ)$ und

0

$0$ .

(\sin (θ) + \sin (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))

$(\sin (θ) + \sin (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

(\sin (θ) + \sin (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))

$(\sin (θ) + \sin (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Schritt 2.2

Addiere

\sin (θ)

$\sin (θ)$ und

\sin (θ)

$\sin (θ)$ .

2 \sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))

$2 \sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

2 \sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) - \cos (θ))

$2 \sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) - \cos (θ))$

Schritt 2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

\sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) - \cos (θ)

$\sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) - \cos (θ)$ .

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere

\sin (θ)

$\sin (θ)$ von

\sin (θ)

$\sin (θ)$ .

2 \sin (θ) (0 - \cos (θ) - \cos (θ))

$2 \sin (θ) (0 - \cos (θ) - \cos (θ))$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere

\cos (θ)

$\cos (θ)$ von

0

$0$ .

2 \sin (θ) (- \cos (θ) - \cos (θ))

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - \cos (θ))$

2 \sin (θ) (- \cos (θ) - \cos (θ))

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - \cos (θ))$

Schritt 2.5

Subtrahiere

\cos (θ)

$\cos (θ)$ von

- \cos (θ)

$- \cos (θ)$ .

2 \sin (θ) (- 2 \cos (θ))

$2 \sin (θ) (- 2 \cos (θ))$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Stelle

2 \sin (θ)

$2 \sin (θ)$ und

- 2 \cos (θ)

$- 2 \cos (θ)$ um.

- 2 \cos (θ) (2 \sin (θ))

$- 2 \cos (θ) (2 \sin (θ))$

Schritt 2.6.2

Füge Klammern hinzu.

- 2 (\cos (θ) (2 \sin (θ)))

$- 2 (\cos (θ) (2 \sin (θ)))$

Schritt 2.6.3

Stelle

\cos (θ)

$\cos (θ)$ und

2 \sin (θ)

$2 \sin (θ)$ um.

- 2 (2 \sin (θ) \cos (θ))

$- 2 (2 \sin (θ) \cos (θ))$

- 2 (2 \sin (θ) \cos (θ))

$- 2 (2 \sin (θ) \cos (θ))$

- 2 (2 \sin (θ) \cos (θ))

$- 2 (2 \sin (θ) \cos (θ))$

Schritt 3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

- 2 \sin (2 θ)

$- 2 \sin (2 θ)$