Trigonometrie Beispiele

${(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2} - {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (θ) - \cos (θ)$ und $b = \sin (θ) + \cos (θ)$ .

$(\sin (θ) - \cos (θ) + \sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (θ) - \cos (θ) + \sin (θ) + \cos (θ)$ .

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Schritt 2.1.1

Addiere $- \cos (θ)$ und $\cos (θ)$ .

$(\sin (θ) + 0 + \sin (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Schritt 2.1.2

Addiere $\sin (θ)$ und $0$ .

$(\sin (θ) + \sin (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Schritt 2.2

Addiere $\sin (θ)$ und $\sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) - \cos (θ))$

Schritt 2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) - \cos (θ)$ .

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $\sin (θ)$ von $\sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (0 - \cos (θ) - \cos (θ))$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $\cos (θ)$ von $0$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - \cos (θ))$

Schritt 2.5

Subtrahiere $\cos (θ)$ von $- \cos (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- 2 \cos (θ))$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Stelle $2 \sin (θ)$ und $- 2 \cos (θ)$ um.

$- 2 \cos (θ) (2 \sin (θ))$

Schritt 2.6.2

Füge Klammern hinzu.

$- 2 (\cos (θ) (2 \sin (θ)))$

Schritt 2.6.3

Stelle $\cos (θ)$ und $2 \sin (θ)$ um.

$- 2 (2 \sin (θ) \cos (θ))$

Schritt 3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$- 2 \sin (2 θ)$