Trigonometrie Beispiele

$y = - \frac{1}{6} x^{2} + 7 x - 80$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + 7 x - 80$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{6} + 7 x - 80$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{6}$

$b = 7$

$c = - 80$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{7}{2 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = \frac{7}{- 2 (\frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 2}{6}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $6$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{7}{\frac{2 (- 1)}{6}}$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{\frac{- 1}{3}}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = \frac{7}{- \frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 7 (- 1 \cdot 3)$

Schritt 1.2.3.2.4

Multipliziere $7 (- 1 \cdot 3)$ .

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Schritt 1.2.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = 7 \cdot - 3$

Schritt 1.2.3.2.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 3$ .

$d = - 21$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 80 - \frac{7^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$e = - 80 - \frac{49}{4 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 80 - \frac{49}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{6}$ .

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{- 4}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{- 2}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 80 - \frac{49}{- \frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - 80 - (49 (- \frac{3}{2}))$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Multipliziere $49 (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$e = - 80 - (- 49 (\frac{3}{2}))$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Kombiniere $- 49$ und $\frac{3}{2}$ .

$e = - 80 - \frac{- 49 \cdot 3}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Mutltipliziere $- 49$ mit $3$ .

$e = - 80 - \frac{- 147}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 80 - - \frac{147}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.7

Multipliziere $- - \frac{147}{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 80 + 1 (\frac{147}{2})$

Schritt 1.2.4.2.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{147}{2}$ mit $1$ .

$e = - 80 + \frac{147}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Um $- 80$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e = - 80 \cdot \frac{2}{2} + \frac{147}{2}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kombiniere $- 80$ und $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 80 \cdot 2}{2} + \frac{147}{2}$

Schritt 1.2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 80 \cdot 2 + 147}{2}$

Schritt 1.2.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 80$ mit $2$ .

$e = \frac{- 160 + 147}{2}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Addiere $- 160$ und $147$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Schritt 1.2.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{13}{2}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{6} {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$ ein.

$- \frac{1}{6} {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{6}$

$h = 21$

$k = - \frac{13}{2}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(21, - \frac{13}{2})$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Schritt 4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 5

Finde die Leitlinie.

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Schritt 5.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - 5$

Schritt 6