Trigonometrie Beispiele

$y = 3 \cot (2 x + \frac{π}{2})$

Schritt 1

Für jedes $y = \cot (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \cot (x)$ , $(0, π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 3 \cot (2 x + \frac{π}{2})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Kotangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \cot (b x + c) + d$ gleich $0$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 3 \cot (2 x + \frac{π}{2})$ auftritt.

$2 x + \frac{π}{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 3

Setze das Innere der Kotangensfunktion $2 x + \frac{π}{2}$ gleich $π$ .

$2 x + \frac{π}{2} = π$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.1.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 4.1.5.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5

Die fundamentale Periode für $y = 3 \cot (2 x + \frac{π}{2})$ tritt auf bei $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ , wobei $- \frac{π}{4}$ und $\frac{π}{4}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Schritt 6

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 3 \cot (2 x + \frac{π}{2})$ treten auf bei $- \frac{π}{4}$ , $\frac{π}{4}$ und aller $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Schritt 8

Der Kotangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 9