Trigonometrie Beispiele

A = \frac{1}{2} r^{2} θ

$A = \frac{1}{2} r^{2} θ$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als

\frac{1}{2} \cdot (r^{2} θ) = A

$\frac{1}{2} \cdot (r^{2} θ) = A$ um.

\frac{1}{2} \cdot (r^{2} θ) = A

$\frac{1}{2} \cdot (r^{2} θ) = A$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit

2

$2$ .

2 (\frac{1}{2} \cdot (r^{2} θ)) = 2 A

$2 (\frac{1}{2} \cdot (r^{2} θ)) = 2 A$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache

2 (\frac{1}{2} \cdot (r^{2} θ))

$2 (\frac{1}{2} \cdot (r^{2} θ))$ .

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Schritt 3.1.1

Multipliziere

\frac{1}{2} (r^{2} θ)

$\frac{1}{2} (r^{2} θ)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kombiniere

r^{2}

$r^{2}$ und

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

2 (\frac{r^{2}}{2} θ) = 2 A

$2 (\frac{r^{2}}{2} θ) = 2 A$

Schritt 3.1.1.2

Kombiniere

\frac{r^{2}}{2}

$\frac{r^{2}}{2}$ und

θ

$θ$ .

2 \frac{r^{2} θ}{2} = 2 A

$2 \frac{r^{2} θ}{2} = 2 A$

2 \frac{r^{2} θ}{2} = 2 A

$2 \frac{r^{2} θ}{2} = 2 A$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{r^{2} θ}{2} = 2 A$

Schritt 3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$r^{2} θ = 2 A$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in

$r^{2} θ = 2 A$ durch

$θ$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in

$r^{2} θ = 2 A$ durch

$θ$ .

$\frac{r^{2} θ}{θ} = \frac{2 A}{θ}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$θ$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{2} θ}{θ} = \frac{2 A}{θ}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere

$r^{2}$ durch

$1$ .

$r^{2} = \frac{2 A}{θ}$

Schritt 5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{\frac{2 A}{θ}}$

Schritt 6

Vereinfache

$\pm \sqrt{\frac{2 A}{θ}}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe

$\sqrt{\frac{2 A}{θ}}$ als

$\frac{\sqrt{2 A}}{\sqrt{θ}}$ um.

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A}}{\sqrt{θ}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{2 A}}{\sqrt{θ}}$ mit

$\frac{\sqrt{θ}}{\sqrt{θ}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A}}{\sqrt{θ}} \cdot \frac{\sqrt{θ}}{\sqrt{θ}}$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{2 A}}{\sqrt{θ}}$ mit

$\frac{\sqrt{θ}}{\sqrt{θ}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A} \sqrt{θ}}{\sqrt{θ} \sqrt{θ}}$

Schritt 6.3.2

Potenziere

$\sqrt{θ}$ mit

$1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A} \sqrt{θ}}{{\sqrt{θ}}^{1} \sqrt{θ}}$

Schritt 6.3.3

Potenziere

$\sqrt{θ}$ mit

$1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A} \sqrt{θ}}{{\sqrt{θ}}^{1} {\sqrt{θ}}^{1}}$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A} \sqrt{θ}}{{\sqrt{θ}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A} \sqrt{θ}}{{\sqrt{θ}}^{2}}$

Schritt 6.3.6

Schreibe

${\sqrt{θ}}^{2}$ als

$θ$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{θ}$ als

$θ^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A} \sqrt{θ}}{{(θ^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A} \sqrt{θ}}{θ^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A} \sqrt{θ}}{θ^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A} \sqrt{θ}}{θ^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A} \sqrt{θ}}{θ^{1}}$

Schritt 6.3.6.5

Vereinfache.

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A} \sqrt{θ}}{θ}$

Schritt 6.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$r = \pm \frac{\sqrt{2 A θ}}{θ}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \frac{\sqrt{2 A θ}}{θ}$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \frac{\sqrt{2 A θ}}{θ}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{\sqrt{2 A θ}}{θ}$

$r = - \frac{\sqrt{2 A θ}}{θ}$

$r = \frac{\sqrt{2 A θ}}{θ}$

$r = - \frac{\sqrt{2 A θ}}{θ}$