Trigonometrie Beispiele

$8 \cos (\frac{π}{3} t) = 5$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $8 \cos (\frac{π}{3} t) = 5$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $8 \cos (\frac{π}{3} t) = 5$ durch $8$ .

$\frac{8 \cos (\frac{π}{3} t)}{8} = \frac{5}{8}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cos (\frac{π}{3} t)}{8} = \frac{5}{8}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{π}{3} t)$ durch $1$ .

$\cos (\frac{π}{3} t) = \frac{5}{8}$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{π}{3} t = \arccos (\frac{5}{8})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{π}{3}$ und $t$ .

$\frac{π t}{3} = \arccos (\frac{5}{8})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Berechne $\arccos (\frac{5}{8})$ .

$\frac{π t}{3} = 0.89566479$

Schritt 5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3} = \frac{3}{π} \cdot 0.89566479$

Schritt 6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache $\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3} = \frac{3}{π} \cdot 0.89566479$

Schritt 6.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{3}{π} \cdot 0.89566479$

Schritt 6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{3}{π} \cdot 0.89566479$

Schritt 6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{3}{π} \cdot 0.89566479$

Schritt 6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{3}{π} \cdot 0.89566479$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $\frac{3}{π} \cdot 0.89566479$ .

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $\frac{3}{π} \cdot 0.89566479$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{π}$ und $0.89566479$ .

$t = \frac{3 \cdot 0.89566479}{π}$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.89566479$ .

$t = \frac{2.68699438}{π}$

Schritt 6.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{2.68699438}{3.14159265}$

Schritt 6.2.1.3

Dividiere $2.68699438$ durch $3.14159265$ .

$t = 0.85529687$

Schritt 7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{π t}{3} = 2 (3.14159265) - 0.89566479$

Schritt 8

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3} = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.89566479)$

Schritt 8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache $\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3}$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3} = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.89566479)$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.89566479)$

Schritt 8.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.89566479)$

Schritt 8.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.89566479)$

Schritt 8.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.89566479)$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $\frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.89566479)$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{3}{π} (6.2831853 - 0.89566479)$

Schritt 8.2.2.1.2

Subtrahiere $0.89566479$ von $6.2831853$ .

$t = \frac{3}{π} \cdot 5.38752051$

Schritt 8.2.2.1.3

Multipliziere $\frac{3}{π} \cdot 5.38752051$ .

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Schritt 8.2.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{3}{π}$ und $5.38752051$ .

$t = \frac{3 \cdot 5.38752051}{π}$

Schritt 8.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $5.38752051$ .

$t = \frac{16.16256153}{π}$

Schritt 8.2.2.1.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{16.16256153}{3.14159265}$

Schritt 8.2.2.1.5

Dividiere $16.16256153$ durch $3.14159265$ .

$t = 5.14470312$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{π}{3} t)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Schritt 9.3

$\frac{π}{3}$ ist ungefähr $1.04719755$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{3}{π}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Schritt 9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 3$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{π}{3} t)$ ist $6$ , d. h., Werte werden sich alle $6$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 0.85529687 + 6 n, 5.14470312 + 6 n$ , für jede Ganzzahl $n$