Trigonometrie Beispiele

$y = 1000 e^{- 0.05 t}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $1000 e^{- 0.05 t} = y$ um.

$1000 e^{- 0.05 t} = y$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $1000 e^{- 0.05 t} = y$ durch $1000$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $1000 e^{- 0.05 t} = y$ durch $1000$ .

$\frac{1000 e^{- 0.05 t}}{1000} = \frac{y}{1000}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1000$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1000 e^{- 0.05 t}}{1000} = \frac{y}{1000}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $e^{- 0.05 t}$ durch $1$ .

$e^{- 0.05 t} = \frac{y}{1000}$

Schritt 3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 0.05 t}) = \ln (\frac{y}{1000})$

Schritt 4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.1

Zerlege $\ln (e^{- 0.05 t})$ durch Herausziehen von $- 0.05 t$ aus dem Logarithmus.

$- 0.05 t \ln (e) = \ln (\frac{y}{1000})$

Schritt 4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 0.05 t \cdot 1 = \ln (\frac{y}{1000})$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 0.05$ mit $1$ .

$- 0.05 t = \ln (\frac{y}{1000})$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 0.05 t = \ln (\frac{y}{1000})$ durch $- 0.05$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.05 t = \ln (\frac{y}{1000})$ durch $- 0.05$ .

$\frac{- 0.05 t}{- 0.05} = \frac{\ln (\frac{y}{1000})}{- 0.05}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.05$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.05 t}{- 0.05} = \frac{\ln (\frac{y}{1000})}{- 0.05}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{y}{1000})}{- 0.05}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{\ln (\frac{y}{1000})}{0.05}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$t = - \frac{1 \ln (\frac{y}{1000})}{0.05}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $0.05$ aus $0.05$ heraus.

$t = - \frac{1 \ln (\frac{y}{1000})}{0.05 (1)}$

Schritt 5.3.4

Separiere Brüche.

$t = - (\frac{1}{0.05} \cdot \frac{\ln (\frac{y}{1000})}{1})$

Schritt 5.3.5

Dividiere $1$ durch $0.05$ .

$t = - (20 \frac{\ln (\frac{y}{1000})}{1})$

Schritt 5.3.6

Dividiere $\ln (\frac{y}{1000})$ durch $1$ .

$t = - (20 \ln (\frac{y}{1000}))$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$t = - 20 \ln (\frac{y}{1000})$