Trigonometrie Beispiele

x^{3} + 64 = 0

$x^{3} + 64 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe

64

$64$ als

4^{3}

$4^{3}$ um.

x^{3} + 4^{3} = 0

$x^{3} + 4^{3} = 0$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme,

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei

a = x

$a = x$ und

b = 4

$b = 4$ .

(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

- 1

$- 1$ .

(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

Schritt 1.3.2

Potenziere

$4$ mit

$2$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Schritt 3

Setze

$x + 4$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze

$x + 4$ gleich

$0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere

$4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 4

Setze

$x^{2} - 4 x + 16$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze

$x^{2} - 4 x + 16$ gleich

$0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Schritt 4.2

Löse

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$ nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte

$a = 1$ ,

$b = - 4$ und

$c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach

$x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere

$- 4$ mit

$2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Subtrahiere

$64$ von

$16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe

$- 48$ als

$- 1 (48)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Schreibe

$\sqrt{- 1 (48)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.7

Schreibe

$48$ als

$4^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.7.1

Faktorisiere

$16$ aus

$48$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.7.2

Schreibe

$16$ als

$4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.9

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

$+$ -Teil von

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1.1

Potenziere

$- 4$ mit

$2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.3

Subtrahiere

$64$ von

$16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.4

Schreibe

$- 48$ als

$- 1 (48)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.5

Schreibe

$\sqrt{- 1 (48)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.7

Schreibe

$48$ als

$4^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1.7.1

Faktorisiere

$16$ aus

$48$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.7.2

Schreibe

$16$ als

$4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.9

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.4.4

Ändere das

$\pm$ zu

$+$ .

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

$-$ -Teil von

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.1

Potenziere

$- 4$ mit

$2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.3

Subtrahiere

$64$ von

$16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.4

Schreibe

$- 48$ als

$- 1 (48)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.5

Schreibe

$\sqrt{- 1 (48)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.7

Schreibe

$48$ als

$4^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.7.1

Faktorisiere

$16$ aus

$48$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.7.2

Schreibe

$16$ als

$4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.9

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.5.3

Vereinfache

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.5.4

Ändere das

$\pm$ zu

$-$ .

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$