Trigonometrie Beispiele

$x^{3} + 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{3}$ um.

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme,

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei

$a = x$ und

$b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 3

Setze

$x + 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze

$x + 1$ gleich

$0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Setze

$x^{2} - x + 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

$x^{2} - x + 1$ gleich

$0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse

$x^{2} - x + 1 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte

$a = 1$ ,

$b = - 1$ und

$c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach

$x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Subtrahiere

$4$ von

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe

$- 3$ als

$- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Schreibe

$\sqrt{- 1 (3)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

$+$ -Teil von

$\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1.1

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.3

Subtrahiere

$4$ von

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.4

Schreibe

$- 3$ als

$- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.5

Schreibe

$\sqrt{- 1 (3)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Ändere das

$\pm$ zu

$+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

$-$ -Teil von

$\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.1

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.3

Subtrahiere

$4$ von

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.4

Schreibe

$- 3$ als

$- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.5

Schreibe

$\sqrt{- 1 (3)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.5.3

Ändere das

$\pm$ zu

$-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$