Trigonometrie Beispiele

Finde alle komplexen Lösungen 1-sin(theta)=2cos(theta)^2
Schritt 1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2
Ersetze die durch basierend auf der -Identitätsgleichung.
Schritt 3
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 3.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4
Subtrahiere von .
Schritt 5
Stelle das Polynom um.
Schritt 6
Ersetze durch .
Schritt 7
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 7.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 7.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 7.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 7.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 7.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 7.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 7.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 8
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 9
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 9.1
Setze gleich .
Schritt 9.2
Löse nach auf.
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Schritt 9.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 9.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 9.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 9.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 9.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 9.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 9.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 9.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 10
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 10.1
Setze gleich .
Schritt 10.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 11
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 12
Ersetze durch .
Schritt 13
Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach aufzulösen.
Schritt 14
Löse in nach auf.
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Schritt 14.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 14.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 14.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 14.3
Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 14.4
Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.
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Schritt 14.4.1
Subtrahiere von .
Schritt 14.4.2
Der resultierende Winkel von ist positiv, kleiner als und gleich .
Schritt 14.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 14.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 14.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 14.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 14.5.4
Dividiere durch .
Schritt 14.6
Addiere zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.
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Schritt 14.6.1
Addiere zu , um den positiven Winkel zu bestimmen.
Schritt 14.6.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 14.6.3
Kombiniere Brüche.
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Schritt 14.6.3.1
Kombiniere und .
Schritt 14.6.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 14.6.4
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 14.6.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.6.4.2
Subtrahiere von .
Schritt 14.6.5
Liste die neuen Winkel auf.
Schritt 14.7
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 15
Löse in nach auf.
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Schritt 15.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 15.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 15.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 15.3
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 15.4
Vereinfache .
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Schritt 15.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 15.4.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 15.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 15.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 15.4.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 15.4.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 15.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 15.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 15.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 15.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 15.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 15.5.4
Dividiere durch .
Schritt 15.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 16
Liste alle Lösungen auf.
, für jede ganze Zahl
Schritt 17
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede ganze Zahl