Trigonometrie Beispiele

${(5 x^{2} - 7 \ln (x))}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Schritt 2.5

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - 7 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - 7 \frac{1}{x})$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x + \frac{- 7}{x})$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 \ln (x))) (10 x - \frac{7}{x})$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$(10 x^{2} + 2 (- 7 \ln (x))) (10 x - \frac{7}{x})$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$(10 x^{2} - 14 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $(10 x^{2} - 14 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$ um.

$(10 x - \frac{7}{x}) (10 x^{2} - 14 \ln (x))$