Trigonometrie Beispiele

${(\sqrt{3} + i)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${\sqrt{3}}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$3^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$3^{2} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$9 + 4 \sqrt{3^{3}} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$9 + 4 \sqrt{27} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.5

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$9 + 4 \sqrt{9 (3)} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$9 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$9 + 4 (3 \sqrt{3}) i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{1} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3 i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 \cdot - 1 + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.11

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Schritt 2.1.13

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Schritt 2.1.14

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- i) + i^{4}$

Schritt 2.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + i^{4}$

Schritt 2.1.16

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.16.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.16.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.1.16.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$12 \sqrt{3} i - 9 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $4 \sqrt{3} i$ von $12 \sqrt{3} i$ .

$8 \sqrt{3} i - 9 + 1$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $- 9$ und $1$ .

$8 \sqrt{3} i - 8$

Schritt 2.2.3.2

Stelle $8 \sqrt{3} i$ und $- 8$ um.

$- 8 + 8 \sqrt{3} i$