Trigonometrie Beispiele

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.5

Multipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $\sqrt{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.5.1

Bewege $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit ${\sqrt{2}}^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.8

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.11

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{2}$ an.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.12

Multipliziere $\sqrt{2}$ mit ${\sqrt{2}}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.12.1

Bewege ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.12.2

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $\sqrt{2}$ .

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Schritt 2.1.12.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.12.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.13

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.14

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.15

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.15.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.15.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.17

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.18

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.20

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{2}$ an.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

Schritt 2.1.21

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Schritt 2.1.22

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Schritt 2.1.23

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

Schritt 2.1.24

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

Schritt 2.1.25

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

Schritt 2.1.26

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.26.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

Schritt 2.1.26.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.27

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

Schritt 2.1.28

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $6 \sqrt{2}$ von $2 \sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 2.2.2

Stelle die Faktoren von $6 \sqrt{2} i$ um.

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $2 i \sqrt{2}$ von $6 i \sqrt{2}$ .

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Schritt 2.2.4

Stelle $4 i \sqrt{2}$ und $- 4 \sqrt{2}$ um.

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$