Trigonometrie Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 12 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 ° \\ B = & 60 ° \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $a$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (30 °)}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Der genau Wert von $\sin (30 °)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{a}$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Schritt 3.1.4

Der genau Wert von $\sin (90 °)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 a, 12$

Schritt 3.2.2

Da $2 a, 12$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $2, 12$ und anschließend für den variablen Teil $a^{1}$ .

Schritt 3.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.2.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 3.2.5

Die Primfaktoren von $12$ sind $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 3.2.5.1

$12$ hat Faktoren von $2$ und $6$ .

$2 \cdot 6$

Schritt 3.2.5.2

$6$ hat Faktoren von $2$ und $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 3.2.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 3$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12$

Schritt 3.2.7

Der Teiler von $a^{1}$ ist $a$ selbst.

$a^{1} = a$

$a$ occurs $1$ time.

Schritt 3.2.8

Das kgV von $a^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$a$

Schritt 3.2.9

Das kgV von $2 a, 12$ ist der numerische Teil $12$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$12 a$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ mit $12 a$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ mit $12 a$ .

$\frac{1}{2 a} (12 a) = \frac{1}{12} (12 a)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$2 (6) \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Schritt 3.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 a$ heraus.

$2 (6) \frac{1}{2 (a)} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Schritt 3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 6 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Schritt 3.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$6 \frac{1}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{a}$ .

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Schritt 3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Schritt 3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 a$ heraus.

$6 = \frac{1}{12} (12 (a))$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Schritt 3.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$6 = a$

Schritt 3.4

Schreibe die Gleichung als $a = 6$ um.

$a = 6$

Schritt 4

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 5

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $b$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (60 °)}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $b$ auf.

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Schritt 6.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Der genau Wert von $\sin (60 °)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Schritt 6.1.4

Der genau Wert von $\sin (30 °)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\frac{1}{2}}{6}$

Schritt 6.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 6.1.6

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Schritt 6.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2 \cdot 6}$

Schritt 6.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$

Schritt 6.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 b, 12$

Schritt 6.2.2

Da $2 b, 12$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $2, 12$ und anschließend für den variablen Teil $b^{1}$ .

Schritt 6.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 6.2.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 6.2.5

Die Primfaktoren von $12$ sind $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1

$12$ hat Faktoren von $2$ und $6$ .

$2 \cdot 6$

Schritt 6.2.5.2

$6$ hat Faktoren von $2$ und $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 6.2.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 3$

Schritt 6.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12$

Schritt 6.2.7

Der Teiler von $b^{1}$ ist $b$ selbst.

$b^{1} = b$

$b$ occurs $1$ time.

Schritt 6.2.8

Das kgV von $b^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$b$

Schritt 6.2.9

Das kgV von $2 b, 12$ ist der numerische Teil $12$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$12 b$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ mit $12 b$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ mit $12 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (12 b) = \frac{1}{12} (12 b)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Schritt 6.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 b$ heraus.

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Schritt 6.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Schritt 6.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$6 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Schritt 6.3.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Schritt 6.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Schritt 6.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 b$ heraus.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 (b))$

Schritt 6.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Schritt 6.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \sqrt{3} = b$

Schritt 6.4

Schreibe die Gleichung als $b = 6 \sqrt{3}$ um.

$b = 6 \sqrt{3}$

Schritt 7

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 30 °$

$B = 60 °$

$C = 90 °$

$a = 6$

$b = 6 \sqrt{3}$

$c = 12$