Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 3 \cos (2 x) + 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 3 \cos (2 x) + 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 \cos (2 x) + 1 = 0$ um.

$3 \cos (2 x) + 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \cos (2 x) = - 1$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (2 x) = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (2 x) = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 \cos (2 x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cos (2 x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{3})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Berechne $\arccos (- \frac{1}{3})$ .

$2 x = 1.91063323$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1.91063323$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1.91063323$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.91063323}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.91063323}{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1.91063323}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Dividiere $1.91063323$ durch $2$ .

$x = 0.95531661$

Schritt 1.2.7

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 (3.14159265) - 1.91063323$

Schritt 1.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$2 x = 6.2831853 - 1.91063323$

Schritt 1.2.8.1.2

Subtrahiere $1.91063323$ von $6.2831853$ .

$2 x = 4.37255207$

Schritt 1.2.8.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4.37255207$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4.37255207$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.37255207}{2}$

Schritt 1.2.8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.37255207}{2}$

Schritt 1.2.8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4.37255207}{2}$

Schritt 1.2.8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.2.3.1

Dividiere $4.37255207$ durch $2$ .

$x = 2.18627603$

Schritt 1.2.9

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 1.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 1.2.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.9.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.10

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.95531661 + π n, 2.18627603 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0.95531661 + π n, 0), (2.18627603 + π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 3 \cos (2 (0)) + 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cos (2 (0)) + 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $3 \cos (2 (0)) + 1$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 3 \cos (0) + 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$y = 3 \cdot 1 + 1$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = 3 + 1$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$y = 4$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0.95531661 + π n, 0), (2.18627603 + π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 4