Trigonometrie Beispiele

f (x) = {(x + 7)}^{2} - 1

$f (x) = {(x + 7)}^{2} - 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe

{(x + 7)}^{2}

${(x + 7)}^{2}$ als

(x + 7) (x + 7)

$(x + 7) (x + 7)$ um.

f (x) = (x + 7) (x + 7) - 1

$f (x) = (x + 7) (x + 7) - 1$

Schritt 1.2

Multipliziere

(x + 7) (x + 7)

$(x + 7) (x + 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

f (x) = x (x + 7) + 7 (x + 7) - 1

$f (x) = x (x + 7) + 7 (x + 7) - 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

f (x) = x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7) - 1

$f (x) = x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7) - 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

f (x) = x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 1

$f (x) = x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 1$

f (x) = x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 1

$f (x) = x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

f (x) = x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 1

$f (x) = x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 1$

Schritt 1.3.1.2

Bringe

7

$7$ auf die linke Seite von

x

$x$ .

f (x) = x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7 - 1

$f (x) = x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7 - 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere

7

$7$ mit

7

$7$ .

f (x) = x^{2} + 7 x + 7 x + 49 - 1

$f (x) = x^{2} + 7 x + 7 x + 49 - 1$

f (x) = x^{2} + 7 x + 7 x + 49 - 1

$f (x) = x^{2} + 7 x + 7 x + 49 - 1$

Schritt 1.3.2

Addiere

7 x

$7 x$ und

7 x

$7 x$ .

f (x) = x^{2} + 14 x + 49 - 1

$f (x) = x^{2} + 14 x + 49 - 1$

f (x) = x^{2} + 14 x + 49 - 1

$f (x) = x^{2} + 14 x + 49 - 1$

f (x) = x^{2} + 14 x + 49 - 1

$f (x) = x^{2} + 14 x + 49 - 1$

Schritt 2

Subtrahiere

1

$1$ von

49

$49$ .

f (x) = x^{2} + 14 x + 48

$f (x) = x^{2} + 14 x + 48$

Schritt 3

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn

a

$a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion

f (- \frac{b}{2 a})

$f (- \frac{b}{2 a})$ .

f_{min}

$f_{min}$

x = a x^{2} + b x + c

$x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 4

Ermittele den Wert von

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ ein.

x = - \frac{14}{2 (1)}

$x = - \frac{14}{2 (1)}$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

x = - \frac{14}{2 (1)}

$x = - \frac{14}{2 (1)}$

Schritt 4.3

Vereinfache

- \frac{14}{2 (1)}

$- \frac{14}{2 (1)}$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

14

$14$ und

2

$2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

14

$14$ heraus.

x = - \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}

$x = - \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ heraus.

x = - \frac{2 \cdot 7}{2 (1)}

$x = - \frac{2 \cdot 7}{2 (1)}$

Schritt 4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

x = - \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}

$x = - \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

x = - \frac{7}{1}

$x = - \frac{7}{1}$

Schritt 4.3.1.2.4

Dividiere

7

$7$ durch

1

$1$ .

x = - 1 \cdot 7

$x = - 1 \cdot 7$

x = - 1 \cdot 7

$x = - 1 \cdot 7$

x = - 1 \cdot 7

$x = - 1 \cdot 7$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

7

$7$ .

x = - 7

$x = - 7$

x = - 7

$x = - 7$

x = - 7

$x = - 7$

Schritt 5

Berechne

f (- 7)

$f (- 7)$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

- 7

$- 7$ .

f (- 7) = {(- 7)}^{2} + 14 (- 7) + 48

$f (- 7) = {(- 7)}^{2} + 14 (- 7) + 48$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere

- 7

$- 7$ mit

2

$2$ .

f (- 7) = 49 + 14 (- 7) + 48

$f (- 7) = 49 + 14 (- 7) + 48$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere

14

$14$ mit

- 7

$- 7$ .

f (- 7) = 49 - 98 + 48

$f (- 7) = 49 - 98 + 48$

f (- 7) = 49 - 98 + 48

$f (- 7) = 49 - 98 + 48$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere

98

$98$ von

49

$49$ .

f (- 7) = - 49 + 48

$f (- 7) = - 49 + 48$

Schritt 5.2.2.2

Addiere

- 49

$- 49$ und

48

$48$ .

f (- 7) = - 1

$f (- 7) = - 1$

f (- 7) = - 1

$f (- 7) = - 1$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Schritt 6

Benutze die

x

$x$ - und

y

$y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

(- 7, - 1)

$(- 7, - 1)$

Schritt 7