Trigonometrie Beispiele

F (X) = - sin (2 x) + cos (x)

$F (X) = - \sin (2 x) + \cos (x)$

Schritt 1

Setze

- sin (2 x) + cos (x)

$- \sin (2 x) + \cos (x)$ gleich

0

$0$ .

- sin (2 x) + cos (x) = 0

$- \sin (2 x) + \cos (x) = 0$

Schritt 2

Löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

- (2 sin (x) cos (x)) + cos (x) = 0

$- (2 \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

- 2 sin (x) cos (x) + cos (x) = 0

$- 2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

- 2 sin (x) cos (x) + cos (x) = 0

$- 2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere

cos (x)

$\cos (x)$ aus

- 2 sin (x) cos (x) + cos (x)

$- 2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere

cos (x)

$\cos (x)$ aus

- 2 sin (x) cos (x)

$- 2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

cos (x) (- 2 sin (x)) + cos (x) = 0

$\cos (x) (- 2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Potenziere

cos (x)

$\cos (x)$ mit

1

$1$ .

cos (x) (- 2 sin (x)) + cos (x) = 0

$\cos (x) (- 2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere

cos (x)

$\cos (x)$ aus

{cos}^{1} (x)

$\cos^{1} (x)$ heraus.

cos (x) (- 2 sin (x)) + cos (x) \cdot 1 = 0

$\cos (x) (- 2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere

cos (x)

$\cos (x)$ aus

cos (x) (- 2 sin (x)) + cos (x) \cdot 1

$\cos (x) (- 2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ heraus.

cos (x) (- 2 sin (x) + 1) = 0

$\cos (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

cos (x) (- 2 sin (x) + 1) = 0

$\cos (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

- 2 sin (x) + 1 = 0

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze

cos (x)

$\cos (x)$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze

cos (x)

$\cos (x)$ gleich

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Schritt 2.4.2

Löse

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

x = arccos (0)

$x = \arccos (0)$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Der genau Wert von

arccos (0)

$\arccos (0)$ ist

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

2 π

$2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.4

Vereinfache

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.4.1

2 π

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.4.2.1

Kombiniere

2 π

$2 π$ und

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.4.3.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.3.2

Subtrahiere

π

$π$ von

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.4.2.5

Ermittele die Periode von

cos (x)

$\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.2.5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.4.2.5.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 2.4.2.6

Die Periode der Funktion

cos (x)

$\cos (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 2.5

Setze

- 2 sin (x) + 1

$- 2 \sin (x) + 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze

- 2 sin (x) + 1

$- 2 \sin (x) + 1$ gleich

0

$0$ .

- 2 sin (x) + 1 = 0

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse

- 2 sin (x) + 1 = 0

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$ nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

- 2 sin (x) = - 1

$- 2 \sin (x) = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in

- 2 sin (x) = - 1

$- 2 \sin (x) = - 1$ durch

- 2

$- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

- 2 sin (x) = - 1

$- 2 \sin (x) = - 1$ durch

- 2

$- 2$ .

\frac{- 2 sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

- 2

$- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere

$\sin (x)$ durch

$1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.4.1

Der genau Wert von

$\arcsin (\frac{1}{2})$ ist

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 2.5.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 2.5.2.6

Vereinfache

$π - \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.6.1

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 2.5.2.6.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.6.2.1

Kombiniere

$π$ und

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 2.5.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 2.5.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.6.3.1

Bringe

$6$ auf die linke Seite von

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 2.5.2.6.3.2

Subtrahiere

$π$ von

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 2.5.2.7

Ermittele die Periode von

$\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.5.2.7.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.5.2.7.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 2.5.2.8

Die Periode der Funktion

$\sin (x)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$\cos (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 2.7

Führe

$\frac{π}{2} + 2 π n$ und

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu

$\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 3