Trigonometrie Beispiele

(\sqrt{5}, - 2)

$(\sqrt{5}, - 2)$

Schritt 1

Um den

cos (θ)

$\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ und

(\sqrt{5}, - 2)

$(\sqrt{5}, - 2)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(\sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0)$ und

(\sqrt{5}, - 2)

$(\sqrt{5}, - 2)$ .

Gegenüberliegend :

- 2

$- 2$

Ankathete :

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ als

5

$5$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ als

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}

$\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}

$\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{5^{1} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{5 + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Potenziere

$- 2$ mit

$2$ .

$\sqrt{5 + 4}$

Schritt 2.2.2

Addiere

$5$ und

$4$ .

$\sqrt{9}$

Schritt 2.2.3

Schreibe

$9$ als

$3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3$

Schritt 3

Aus

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 4

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.74535599$