Trigonometrie Beispiele

(- 2, 6)

$(- 2, 6)$

Schritt 1

Um den

cos (θ)

$\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ und

(- 2, 6)

$(- 2, 6)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$ und

(- 2, 6)

$(- 2, 6)$ .

Gegenüberliegend :

6

$6$

Ankathete :

- 2

$- 2$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

\sqrt{4 + {(6)}^{2}}

$\sqrt{4 + {(6)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

\sqrt{4 + 36}

$\sqrt{4 + 36}$

Schritt 2.3

Addiere

4

$4$ und

36

$36$ .

\sqrt{40}

$\sqrt{40}$

Schritt 2.4

Schreibe

40

$40$ als

2^{2} \cdot 10

$2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

40

$40$ heraus.

\sqrt{4 (10)}

$\sqrt{4 (10)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

\sqrt{2^{2} \cdot 10}

$\sqrt{2^{2} \cdot 10}$

\sqrt{2^{2} \cdot 10}

$\sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

2 \sqrt{10}

$2 \sqrt{10}$

2 \sqrt{10}

$2 \sqrt{10}$

Schritt 3

Aus

cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt

cos (θ) = \frac{- 2}{2 \sqrt{10}}

$\cos (θ) = \frac{- 2}{2 \sqrt{10}}$ .

\frac{- 2}{2 \sqrt{10}}

$\frac{- 2}{2 \sqrt{10}}$

Schritt 4

Vereinfache

cos (θ)

$\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 2

$- 2$ und

2

$2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 2

$- 2$ heraus.

cos (θ) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \sqrt{10}}

$\cos (θ) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \sqrt{10}}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \sqrt{10}

$2 \sqrt{10}$ heraus.

cos (θ) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{10})}

$\cos (θ) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{10})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \sqrt{10}}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere

$\sqrt{10}$ mit

$1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.4.3

Potenziere

$\sqrt{10}$ mit

$1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe

${\sqrt{10}}^{2}$ als

$10$ um.

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Schritt 4.4.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{10}$ als

$10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10} \approx - 0.31622776$