Trigonometrie Beispiele

$y = \tan (\frac{2 π}{4} x)$

Schritt 1

Vereinfache $\tan (\frac{2 π}{4} x)$ .

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$y = \tan (\frac{2 (π)}{4} x)$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \tan (\frac{2 π}{2 \cdot 2} x)$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \tan (\frac{2 π}{2 \cdot 2} x)$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \tan (\frac{π}{2} x)$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $x$ .

$y = \tan (\frac{π x}{2})$

Schritt 2

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (\frac{π x}{2})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \tan (\frac{π x}{2})$ auftritt.

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$π x = - π$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = - π$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = - π$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- π}{π}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{- π}{π}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- π}{π}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- π}{π}$

Schritt 3.2.3.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$x = - 1$

Schritt 4

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{π x}{2}$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$π x = π$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 5.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

Schritt 6

Die fundamentale Periode für $y = \tan (\frac{π x}{2})$ tritt auf bei $(- 1, 1)$ , wobei $- 1$ und $1$ vertikale Asymptoten sind.

$(- 1, 1)$

Schritt 7

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 7.1

$\frac{π}{2}$ ist ungefähr $1.57079632$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{π}{2}}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{2}{π}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \frac{2}{π}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2$

Schritt 8

Die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (\frac{π x}{2})$ treten auf bei $- 1$ , $1$ und aller $2 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = 1 + 2 n$

Schritt 9

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 1 + 2 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 10