Trigonometrie Beispiele

$6 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} - 15 x - 25 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $6 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} - 15 x - 25$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 25, \pm 4.1\overline{6}, \pm 12.5, \pm 8.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

Schritt 1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$6 {(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 15 \cdot - 1 - 25$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$6 \cdot 1 - {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 15 \cdot - 1 - 25$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 - {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 15 \cdot - 1 - 25$

Schritt 1.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$6 - - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 15 \cdot - 1 - 25$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$6 + 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 15 \cdot - 1 - 25$

Schritt 1.1.3.6

Addiere $6$ und $1$ .

$7 + 3 {(- 1)}^{2} - 15 \cdot - 1 - 25$

Schritt 1.1.3.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$7 + 3 \cdot 1 - 15 \cdot - 1 - 25$

Schritt 1.1.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$7 + 3 - 15 \cdot - 1 - 25$

Schritt 1.1.3.9

Addiere $7$ und $3$ .

$10 - 15 \cdot - 1 - 25$

Schritt 1.1.3.10

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 1$ .

$10 + 15 - 25$

Schritt 1.1.3.11

Addiere $10$ und $15$ .

$25 - 25$

Schritt 1.1.3.12

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$0$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{6 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} - 15 x - 25}{x + 1}$

Schritt 1.1.5

Dividiere $6 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} - 15 x - 25$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$6 x^{3}$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$6 x^{3}$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

Schritt 1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{4} + 6 x^{3}$

				$6 x^{3}$
$x$	+	$1$		$6 x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$15 x$	-	$25$
			-	$6 x^{4}$	-	$6 x^{3}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$6 x^{3}$
$x$	+	$1$		$6 x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$15 x$	-	$25$
			-	$6 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					-	$7 x^{3}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$6 x^{3}$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

Schritt 1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

Schritt 1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$6 x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$15 x$	-	$25$
			-	$6 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					-	$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Schritt 1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x^{3} - 7 x^{2}$

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

Schritt 1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x^{2}$

Schritt 1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x^{2}$

$15 x$

Schritt 1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x^{2}$

$15 x$

Schritt 1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$10 x^{2}$

$10 x$

Schritt 1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{2} + 10 x$

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$10 x^{2}$

$10 x$

Schritt 1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$10 x^{2}$

$10 x$

$25 x$

Schritt 1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$10 x^{2}$

$10 x$

$25 x$

$25$

Schritt 1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 25 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x$

$25$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$10 x^{2}$

$10 x$

$25 x$

$25$

Schritt 1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	+	$1$		$6 x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$15 x$	-	$25$
			-	$6 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					-	$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
							+	$10 x^{2}$	-	$15 x$
							-	$10 x^{2}$	-	$10 x$
									-	$25 x$	-	$25$
									-	$25 x$	-	$25$

Schritt 1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 25 x - 25$

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x$

$25$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$10 x^{2}$

$10 x$

$25 x$

$25$

$25 x$

$25$

Schritt 1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x$

$25$

$x$

$1$

$6 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$25$

$6 x^{4}$

$6 x^{3}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x^{2}$

$15 x$

$10 x^{2}$

$10 x$

$25 x$

$25$

$25 x$

$25$

$0$

Schritt 1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$6 x^{3} - 7 x^{2} + 10 x - 25$

Schritt 1.1.6

Schreibe $6 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} - 15 x - 25$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (6 x^{3} - 7 x^{2} + 10 x - 25) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $6 x^{3} - 7 x^{2} + 10 x - 25$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $6 x^{3} - 7 x^{2} + 10 x - 25$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 1.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 25, \pm 4.1\overline{6}, \pm 12.5, \pm 8.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

Schritt 1.2.1.3

Setze $1.\overline{6}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1.\overline{6}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.1.3.1

Setze $1.\overline{6}$ in das Polynom ein.

$6 \cdot {1.\overline{6}}^{3} - 7 \cdot {1.\overline{6}}^{2} + 10 \cdot 1.\overline{6} - 25$

Schritt 1.2.1.3.2

Potenziere $1.\overline{6}$ mit $3$ .

$6 \cdot 4.\overline{629} - 7 \cdot {1.\overline{6}}^{2} + 10 \cdot 1.\overline{6} - 25$

Schritt 1.2.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $4.\overline{629}$ .

$27.\overline{7} - 7 \cdot {1.\overline{6}}^{2} + 10 \cdot 1.\overline{6} - 25$

Schritt 1.2.1.3.4

Potenziere $1.\overline{6}$ mit $2$ .

$27.\overline{7} - 7 \cdot 2.\overline{7} + 10 \cdot 1.\overline{6} - 25$

Schritt 1.2.1.3.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $2.\overline{7}$ .

$27.\overline{7} - 19.\overline{4} + 10 \cdot 1.\overline{6} - 25$

Schritt 1.2.1.3.6

Subtrahiere $19.\overline{4}$ von $27.\overline{7}$ .

$8.\overline{3} + 10 \cdot 1.\overline{6} - 25$

Schritt 1.2.1.3.7

Mutltipliziere $10$ mit $1.\overline{6}$ .

$8.\overline{3} + 16.\overline{6} - 25$

Schritt 1.2.1.3.8

Addiere $8.\overline{3}$ und $16.\overline{6}$ .

$25 - 25$

Schritt 1.2.1.3.9

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$0$

Schritt 1.2.1.4

Da $1.\overline{6}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{6 x^{3} - 7 x^{2} + 10 x - 25}{3 x - 5}$

Schritt 1.2.1.5

Dividiere $6 x^{3} - 7 x^{2} + 10 x - 25$ durch $3 x - 5$ .

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Schritt 1.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$5$

$6 x^{3}$

$7 x^{2}$

$10 x$

$25$

Schritt 1.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$2 x^{2}$
	$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$

Schritt 1.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			+	$6 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Schritt 1.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{3} - 10 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Schritt 1.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Schritt 1.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$10 x$

Schritt 1.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$10 x$

Schritt 1.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 1.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} - 5 x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 1.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$15 x$

Schritt 1.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$15 x$	-	$25$

Schritt 1.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $15 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$5$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$15 x$	-	$25$

Schritt 1.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$5$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$15 x$	-	$25$
							+	$15 x$	-	$25$

Schritt 1.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $15 x - 25$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$5$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$15 x$	-	$25$
							-	$15 x$	+	$25$

Schritt 1.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$5$
$3 x$	-	$5$		$6 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
			-	$6 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$15 x$	-	$25$
							-	$15 x$	+	$25$
										$0$

Schritt 1.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} + x + 5$

Schritt 1.2.1.6

Schreibe $6 x^{3} - 7 x^{2} + 10 x - 25$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) ((3 x - 5) (2 x^{2} + x + 5)) = 0$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (3 x - 5) (2 x^{2} + x + 5) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$3 x - 5 = 0$

$2 x^{2} + x + 5 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 5$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 5

Setze $2 x^{2} + x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 x^{2} + x + 5$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + x + 5 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 x^{2} + x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 1$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.1.3

Subtrahiere $40$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 39}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.1.4

Schreibe $- 39$ als $- 1 (39)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (39)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{39}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{39}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{39}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{39}}{4}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{39}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{39}}{4}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (3 x - 5) (2 x^{2} + x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{5}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{39}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{39}}{4}$

Schritt 7