Trigonometrie Beispiele

$x^{2} + y^{2} + 22 x + 14 y - 55 = 0$

Schritt 1

Addiere $55$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} + 22 x + 14 y = 55$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 22 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 22$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{22}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $22$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{11}{1}$

Schritt 2.3.2.2.4

Dividiere $11$ durch $1$ .

$d = 11$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $22$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{484}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $484$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 121$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $121$ .

$e = 0 - 121$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $121$ von $0$ .

$e = - 121$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 11)}^{2} - 121$ ein.

${(x + 11)}^{2} - 121$

Schritt 3

Setze ${(x + 11)}^{2} - 121$ für $x^{2} + 22 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 22 x + 14 y = 55$ .

${(x + 11)}^{2} - 121 + y^{2} + 14 y = 55$

Schritt 4

Bringe $- 121$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $121$ auf beiden Seiten.

${(x + 11)}^{2} + y^{2} + 14 y = 55 + 121$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 14 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 14$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{14}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{1}$

Schritt 5.3.2.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$d = 7$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{14^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{196}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $196$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$e = 0 - 49$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $49$ von $0$ .

$e = - 49$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 7)}^{2} - 49$ ein.

${(y + 7)}^{2} - 49$

Schritt 6

Setze ${(y + 7)}^{2} - 49$ für $y^{2} + 14 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 22 x + 14 y = 55$ .

${(x + 11)}^{2} + {(y + 7)}^{2} - 49 = 55 + 121$

Schritt 7

Bringe $- 49$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $49$ auf beiden Seiten.

${(x + 11)}^{2} + {(y + 7)}^{2} = 55 + 121 + 49$

Schritt 8

Vereinfache $55 + 121 + 49$ .

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Schritt 8.1

Addiere $55$ und $121$ .

${(x + 11)}^{2} + {(y + 7)}^{2} = 176 + 49$

Schritt 8.2

Addiere $176$ und $49$ .

${(x + 11)}^{2} + {(y + 7)}^{2} = 225$