Trigonometrie Beispiele

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y - 32 = 0$

Schritt 1

Addiere $32$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y = 32$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 x^{2} + 12 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = 12$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{12}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (3)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot 2}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = 0 - \frac{144}{12}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 12$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$e = 0 - 12$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$e = - 12$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ ein.

$3 {(x + 2)}^{2} - 12$

Schritt 3

Setze $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ für $3 x^{2} + 12 x$ ein in der Gleichung $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y = 32$ .

$3 {(x + 2)}^{2} - 12 + 4 y^{2} - 8 y = 32$

Schritt 4

Bringe $- 12$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $12$ auf beiden Seiten.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = 32 + 12$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 y^{2} - 8 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{4}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 5.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ ein.

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Schritt 6

Setze $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ für $4 y^{2} - 8 y$ ein in der Gleichung $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y = 32$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = 32 + 12$

Schritt 7

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 32 + 12 + 4$

Schritt 8

Vereinfache $32 + 12 + 4$ .

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Schritt 8.1

Addiere $32$ und $12$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 44 + 4$

Schritt 8.2

Addiere $44$ und $4$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 48$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $48$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{3 {(x + 2)}^{2}}{48} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{48} = \frac{48}{48}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$