Trigonometrie Beispiele

$\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ)$ heraus.

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Schritt 1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\cos (θ) \cdot 1 - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $- \tan (θ) \cos (θ)$ heraus.

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ)) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ))$ heraus.

$\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \tan (θ) = 0$

Schritt 3

Setze $\cos (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (θ)$ gleich $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $1 - \tan (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $1 - \tan (θ)$ gleich $0$ .

$1 - \tan (θ) = 0$

Schritt 4.2

Löse $1 - \tan (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (θ) = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (θ) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (θ) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $\tan (θ)$ durch $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (θ) = 1$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (1)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 4.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 4.2.6.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$ wahr machen.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 6.1

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6.2

Führe $\frac{π}{4} + π n$ und $\frac{5 π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + π n$ zusammen.

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$ nicht erfüllen.

$θ = \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$